行列が作る空間
(Linear_Algebra/Matrix_Subspaces.hpp)

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• Last update: 2026-05-11 00:01:56+09:00
• Include: #include "Linear_Algebra/Matrix_Subspaces.hpp"

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体 $F$ 上の行列から生成される空間を求める.

History

日付	内容
2026/05/10	Row_Space, Column_Space, Solve_Linear_System, Kernel_Space メソッドの実装

Depends on

• 体上の行列 (Linear_Algebra/Field_Matrix.hpp)
• 数ベクトル空間 (Linear_Algebra/Field_Vector.hpp)
• ベクトル空間 (Linear_Algebra/Field_Vector_Space.hpp)
• Linear_Algebra/Matrix_Vectors.hpp
• Linear_Algebra/Reduction.hpp
• template/bitop.hpp
• template/exception.hpp
• template/inout.hpp
• template/macro.hpp
• template/math.hpp
• template/template.hpp
• template/utility.hpp

Verified with

• verify/yosupo_library_checker/linear_algebra/System_of_Linear_Equations.test.cpp

Code

#pragma once

#include "Matrix_Vectors.hpp"
#include "Field_Vector_Space.hpp"
#include "Reduction.hpp"

/**
 * @brief 行列 A の行空間 (Row Space) を求める
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @return Field_Vector_Space<F> 行空間
 */
template<typename F>
Field_Vector_Space<F> Row_Space(const Field_Matrix<F> &A) {
    return Field_Vector_Space<F>(A.col, Row_Vectors(A));
}

/**
 * @brief 行列 A の列空間 (Column Space / Image) を求める
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @return Field_Vector_Space<F> 列空間
 */
template<typename F>
Field_Vector_Space<F> Column_Space(const Field_Matrix<F> &A) {
    return Field_Vector_Space<F>(A.row, Column_Vectors(A));
}

/**
 * @brief 線形方程式 Ax = b を解く
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @param b ベクトル
 * @return std::optional<std::pair<Field_Vector<F>, Field_Vector_Space<F>>>  {特殊解, 解空間（核）}. 解が存在しない場合は nullopt
 */
template<typename F>
optional<pair<Field_Vector<F>, Field_Vector_Space<F>>> Solve_Linear_System(const Field_Matrix<F> &A, const Field_Vector<F> &b) {
    using Matrix = Field_Matrix<F>;
    using Vector = Field_Vector<F>;

    assert(A.row == b.dimension());

    // A は m 行 n 列
    int m = A.row, n = A.col;

    // 拡大係数行列 M = [A | b] を構築
    Matrix M(m, n + 1);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) M[i][j] = A[i][j];
        M[i][n] = b[i];
    }

    // M の行基本変形 M_reduce を得る
    Matrix M_reduce = Row_Reduce(M);

    // ピボットの列と自由変数の列を特定
    vector<int> pivots;
    vector<int> free_vars;
    int r = 0;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if (r < m && M_reduce[r][j] != 0) {
            pivots.emplace_back(j);
            r++;
        } else {
            free_vars.push_back(j);
        }
    }

    // 解が存在するか（矛盾がないか）のチェック
    for (int i = r; i < m; i++) { unless (M_reduce[i][n] == 0) return nullopt; }

    // 特殊解 x0 を求める.
    Vector x0(n);
    for (int i = 0; i < r; i++) { x0[pivots[i]] = M_reduce[i][n]; }

    // Ker A の基底を求める.
    vector<Vector> ker_basis(n - r, Vector(n));
    for (int i = 0; i < free_vars.size(); ++i) ker_basis[i][free_vars[i]] = 1;

    for (int i = 0; i < ker_basis.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < r; ++j) {
            ker_basis[i][pivots[j]] = -M_reduce[j][free_vars[i]];
        }
    }


    return make_pair(x0, Field_Vector_Space<F>(n, ker_basis));
}

/**
 * @brief 行列 A の核 (Kernel / Null Space) を求める
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @return Field_Vector_Space<F> 核空間
 */
template<typename F>
Field_Vector_Space<F> Kernel_Space(const Field_Matrix<F> &A) {
    return Solve_Linear_System(A, Field_Vector<F>(A.row))->second;
}

#line 2 "Linear_Algebra/Matrix_Subspaces.hpp"

#line 2 "Linear_Algebra/Matrix_Vectors.hpp"

#line 2 "Linear_Algebra/Field_Vector_Space.hpp"

#line 2 "Linear_Algebra/Field_Vector.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

ll pow(ll x, ll y) { return intpow(x, y); }

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }

// x に立っているなんかしらのビットの番号を出力する.
ll lowest_bit(const ll x) { return floor_log2(x & (-x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 2 "Linear_Algebra/Field_Matrix.hpp"

#line 4 "Linear_Algebra/Field_Matrix.hpp"

class SingularMatrixError: private exception{
    const char* what() const throw() {
        return "非正則行列に関する操作を行いました.";
    }
};

template<typename F>
class Field_Matrix{
    public:
    vector<vector<F>> mat;
    int row, col;

    public:
    Field_Matrix() = default;

    Field_Matrix(int row, int col): row(row), col(col){
        mat.assign(row, vector<F>(col, F()));
    }

    Field_Matrix(int row): Field_Matrix(row, row){}

    Field_Matrix(const vector<vector<F>> &ele): Field_Matrix(ele.size(), ele[0].size()){
        for (int i = 0; i < row; i++){
            copy(ele[i].begin(), ele[i].end(), mat[i].begin());
        }
    }

    static Field_Matrix Zero_Matrix(int row, int col) { return Field_Matrix(row, col); }

    static Field_Matrix Identity_Matrix(int size) {
        Field_Matrix A(size);
        for (int i = 0; i < size; i++) { A[i][i] = 1; }
        return A;
    }

    // サイズ
    pair<int, int> size() { return make_pair(row, col); }

    // 正方行列?
    bool is_square() const { return row == col; }

    // 要素
    inline const vector<F> &operator[](int i) const { return mat[i]; }
    inline vector<F> &operator[](int i) { return mat[i]; }

    inline const F &operator[](const int i, const int j) const { return mat[i][j]; }
    inline F &operator[](const int i, const int j) { return mat[i][j]; }

    // 比較
    bool operator==(const Field_Matrix &B) const {
        if (row != B.row || col != B.col){ return false; }

        for (int i = 0; i < row; i++){
            for (int j = 0; j < col; j++){
                if ((*this)[i] != B[i]) return false;
            }
        }
        return true;
    }

    bool operator!=(const Field_Matrix &B) const { return !((*this) == B); }

    // マイナス元
    Field_Matrix operator-() const {
        Field_Matrix A(row, col);
        for (int i = 0; i < row; i++){
            for (int j = 0; j < col; j++) A[i][j] = -(*this)[i][j];
        }
        return A;
    }

    // 加法
    Field_Matrix& operator+=(const Field_Matrix &B){
        assert (row == B.row && col == B.col);
        for (int i = 0; i < row; i++){
            for (int j = 0; j < col; j++){
                (*this)[i][j] += B[i][j];
            }
        }
        return *this;
    }

    Field_Matrix operator+(const Field_Matrix &B) const { return Field_Matrix(*this) += B; }

    // 減法
    Field_Matrix& operator-=(const Field_Matrix &B){
        assert (row == B.row && col == B.col);
        for (int i = 0; i < row; i++){
            for (int j = 0; j < col; j++){
                (*this)[i][j] -= B[i][j];
            }
        }
        return *this;
    }

    Field_Matrix operator-(const Field_Matrix &B) const  {return Field_Matrix(*this) -= B; }

    // 乗法
    Field_Matrix& operator*=(const Field_Matrix &B){
        assert (col == B.row);
        vector<vector<F>> C(row, vector<F>(B.col, F()));

        for (int i = 0; i < row; i++){
            for (int k = 0; k < col; k++){
                for (int j = 0; j < B.col; j++){
                    C[i][j] += mat[i][k] * B.mat[k][j];
                }
            }
        }

        mat.swap(C); col = B.col;
        return *this;
    }

    Field_Matrix operator*(const Field_Matrix &B) const { return Field_Matrix(*this)*=B; }

    // スカラー倍
    friend Field_Matrix operator*(const F &scaler, const Field_Matrix &rhs){
        Field_Matrix res(rhs);
        for (int i = 0; i < rhs.row; i++){
            for (int j = 0; j < rhs.col; j++) { res[i][j] *= scaler; }
        }

        return res;
    }

    // 逆行列
    Field_Matrix inverse(){
        assert (is_square());
        int N = col;
        Field_Matrix A(*this), B(N,N);
        for (int i = 0; i < N; i++) B[i][i] = F(1);

        for (int j = 0; j < N; j++){
            if (A[j][j] == 0){
                int i = j + 1;
                for (; i < N; i++){
                    if (A[i][j] != 0) break;
                }

                if (i == N) { throw SingularMatrixError(); }

                swap(A[i], A[j]); swap(B[i], B[j]);
            }

            F a_inv = A[j][j].inverse();

            for (int k = 0; k < N; k++){
                A[j][k] *= a_inv;
                B[j][k] *= a_inv;
            }

            for (int i = 0; i < N; i++){
                if (i == j) { continue; }

                F c = A[i][j];
                for (int k = 0; k < N; k++){
                    A[i][k] -= A[j][k] * c;
                    B[i][k] -= B[j][k] * c;
                }
            }
        }

        return B;
    }

    bool is_regular(){
        assert (is_square());
        int N = row;

        vector<vector<F>> A(N, vector<F>(N));

        for (int i = 0; i < N; i++){
            copy(mat[i].begin(), mat[i].end(), A[i].begin());
        }

        for (int j = 0; j < N; j++){
            if (A[j][j] == 0){
                int i = j + 1;
                for (; i < N; i++){
                    if (A[i][j] != 0) break;
                }
                if (i == N) return false;
                swap(A[i], A[j]);
            }

            F a_inv = A[j][j].inverse();
            for (int i = j + 1; i < N; i++){
                F c = -a_inv * A[i][j];

               for (int k = 0; k < N; k++){ A[i][k] += c * A[j][k]; }
            }
        }

        return true;
    }

    // 転置
    Field_Matrix transpose(){
        Field_Matrix B(col, row);
        for (int i = 0; i < col; i++){
            for (int j = 0; j < row; j++) B[i][j] = (*this)[j][i];
        }
        return B;
    }

    //
    bool is_valid(){return (row > 0) && (col > 0);}

    // 入力
    friend istream &operator>>(istream &is, Field_Matrix &A) {
        for (int i = 0; i < A.row; i++){
            for (int j = 0; j < A.col; j++){
                cin >> A[i][j];
            }
        }
        return is;
    }

    // 出力
    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Field_Matrix &A){
        for (int i = 0; i < A.row; i++){
            for (int j = 0; j < A.col; j++){
                cout << (j ? " ": "") << A[i][j];
            }
            if (i < A.row - 1) cout << "\n";
        }
        return os;
    }
};

template<typename F>
Field_Matrix<F> power(Field_Matrix<F> A, int64_t n){
    assert (A.is_square());

    if (n == 0) { return Field_Matrix<F>::Identity_Matrix(A.row); }
    if (n < 0) { return power(A.inverse(), -n); }

    if (n % 2 == 0){
        Field_Matrix<F> B = power(A, n / 2);
        return B * B;
    } else {
        Field_Matrix<F> B = power(A, (n - 1) / 2);
        return A * B * B;
    }
}

// 行列 A の行列式を求める
template<typename F>
F Determinant(const Field_Matrix<F> &A){
    assert (A.is_square());

    int n = A.row;
    F det(1);
    Field_Matrix<F> B(A);

    for (int j = 0; j < n; j ++){
        if (B[j][j] == 0){
            int i = j + 1;
            for (; i < n; i++) {
                if (B[i][j] != 0) { break; }
            } 

            if (i == n) { return F(0); }

            swap(B[i], B[j]);
            det = -det;
        }

        F a_inv = B[j][j].inverse();
        for (int i = j + 1; i < n; i++){
            F c = -a_inv * B[i][j];
            for (int k = 0; k < n; k++) { B[i][k] += c * B[j][k]; }
        }

        det *= B[j][j];
    }

    return det;
}

// トレース
template<typename F>
F Trace(const Field_Matrix<F> &A) {
    assert (A.is_square());
    F tr = F(0);
    for (int i = 0; i < A.row; i++) tr += A[i, i];
    return tr;
}

// 第 (i, i) 要素が a[i] である対角行列を生成する.
template<typename F>
Field_Matrix<F> Diagonal_Matrix(vector<F> a) {
    int n = a.size();
    vector<vector<F>> X(n, vector<F>(n));

    for (int i = 0; i < n; i++) { X[i][i] = a[i]; }

    return X;
}

/**
 * @brief 複数の行列を並べて一つの大きな行列（ブロック行列）を作る便利関数
 * @tparam F 体の型
 * @param blocks 行列の2次元配列
 * @return Field_Matrix<F> 結合された行列
 */
template<typename F>
Field_Matrix<F> Block_Matrix(const vector<vector<Field_Matrix<F>>> &blocks) {
    if (blocks.empty() || blocks[0].empty()) return Field_Matrix<F>(0, 0);
    int total_row = 0;
    for (int i = 0; i < (int)blocks.size(); i++) total_row += blocks[i][0].row;
    int total_col = 0;
    for (int j = 0; j < (int)blocks[0].size(); j++) total_col += blocks[0][j].col;

    Field_Matrix<F> res(total_row, total_col);
    int row_offset = 0;
    for (int i = 0; i < (int)blocks.size(); i++) {
        int col_offset = 0;
        int block_h = blocks[i][0].row;
        for (int j = 0; j < (int)blocks[i].size(); j++) {
            const auto &B = blocks[i][j];
            assert(B.row == block_h); // 同じ行内のブロックは高さが一致している必要がある
            for (int r = 0; r < B.row; r++) {
                for (int c = 0; c < B.col; c++) {
                    res[row_offset + r][col_offset + c] = B[r][c];
                }
            }
            col_offset += B.col;
        }
        row_offset += block_h;
    }
    return res;
}
#line 5 "Linear_Algebra/Field_Vector.hpp"

/**
 * @brief 体 F 上のベクトル空間の元（ベクトル）を表すクラス
 * @tparam F 体の要素の型（加減乗除が定義されており、F(0), F(1), .inverse() 等を持つこと）
 */
template<typename F>
class Field_Vector {
    private:
    vector<F> vec; ///< ベクトルの成分を格納する動的配列

    public:
    /** @brief デフォルトコンストラクタ */
    Field_Vector() = default;
    /** @brief std::vector からの変換コンストラクタ */
    Field_Vector(const vector<F> &_vec): vec(_vec) {};
    /** @brief 次元 n の零ベクトルを生成するコンストラクタ */
    Field_Vector(const int n): vec(vector<F>(n, F(0))) {};
    /** @brief 初期化リストからのコンストラクタ */
    Field_Vector(initializer_list<F> init) : vec(init) {}

    /**
     * @brief ベクトルの次元（要素数）を取得する
     * @return int 次元
     */
    inline int dimension () const { return vec.size(); }
    /** @brief dimension() のエイリアス */
    inline int size() const { return vec.size(); }

    /** @name イテレータ */
    ///@{
    inline typename vector<F>::iterator begin() { return vec.begin(); }
    inline typename vector<F>::iterator end() { return vec.end(); }
    inline typename vector<F>::const_iterator begin() const { return vec.begin(); }
    inline typename vector<F>::const_iterator end() const { return vec.end(); }
    ///@}

    /**
     * @brief 第 i 成分へのアクセス
     * @param i インデックス
     * @return const F& 成分
     */
    inline const F &operator[](int i) const { return vec[i]; }
    /**
     * @brief 第 i 成分への参照
     * @param i インデックス
     * @return F& 成分への参照
     */
    inline F &operator[](int i) { return vec[i]; }

    /** @name 比較演算子 */
    ///@{
    bool operator==(const Field_Vector &w) const { return vec == w.vec; }
    bool operator!=(const Field_Vector &w) const { return !((*this) == w); }
    ///@}

    /**
     * @brief 逆元（各成分を -1 倍したベクトル）を求める
     * @return Field_Vector 逆元
     */
    Field_Vector operator-() const {
        Field_Vector v(dimension ());
        for (int i = 0; i < dimension (); i++){
            v[i] = -(*this)[i];
        }
        return v;
    }

    /** @name 算術演算子 */
    ///@{
    /**
     * @brief ベクトル加法（破壊的）
     * @param w 加えるベクトル
     * @return Field_Vector& 自身の参照
     */
    Field_Vector& operator+=(const Field_Vector &w) {
        assert (dimension () == w.dimension ());
        for (int i = 0; i < dimension (); i++){ (*this)[i] += w[i]; }
        return *this;
    }
    /**
     * @brief ベクトル加法
     * @param w 加えるベクトル
     * @return Field_Vector 和
     */
    Field_Vector operator+(const Field_Vector &w) const { return Field_Vector(*this) += w; }

    /**
     * @brief ベクトル減法（破壊的）
     * @param w 引くベクトル
     * @return Field_Vector& 自身の参照
     */
    Field_Vector& operator-=(const Field_Vector &w) {
        assert (dimension () == w.dimension ());
        for (int i = 0; i < dimension (); i++){ (*this)[i] -= w[i]; }
        return *this;
    }
    /**
     * @brief ベクトル減法
     * @param w 引くベクトル
     * @return Field_Vector 差
     */
    Field_Vector operator-(const Field_Vector &w) const { return Field_Vector(*this) -= w; }
    ///@}

    /** @name スカラー演算 */
    ///@{
    /**
     * @brief スカラー倍（破壊的）
     * @param a 倍率
     * @return Field_Vector& 自身の参照
     */
    Field_Vector& operator*=(const F& a) {
        for (int i = 0; i < dimension (); i++){ (*this)[i] *= a; }
        return *this;
    }
    /**
     * @brief スカラー倍
     * @param a 倍率
     * @return Field_Vector スカラー倍後のベクトル
     */
    Field_Vector operator*(const F &a) const { return Field_Vector(*this) *= a; }

    /**
     * @brief スカラーによる除算（破壊的）
     * @param a 除数
     * @return Field_Vector& 自身の参照
     */
    Field_Vector& operator/=(const F& a) {
        const F a_inv = a.inverse(); // inverse()の結果をconstで保持
        for (int i = 0; i < dimension (); i++){ (*this)[i] *= a_inv; }
        return *this;
    }
    /**
     * @brief スカラーによる除算
     * @param a 除数
     * @return Field_Vector 除算後のベクトル
     */
    Field_Vector operator/(const F &a) const { return Field_Vector(*this) /= a; }
    ///@}

    /**
     * @brief 全ての成分が 0 かどうかを判定する
     * @return true 零ベクトルのとき
     * @return false それ以外のとき
     */
    bool is_zero() const {
        for (int i = 0; i < dimension (); i++) {
            if ((*this)[i] != F(0)) { return false; }
        }
        return true;
    }

    /**
     * @brief 入力ストリームからの読み込み
     */
    friend istream &operator>>(istream &is, Field_Vector &v) {
        for (int i = 0; i < v.dimension (); i++) { is >> v[i]; }
        return is;
    }

    /**
     * @brief 出力ストリームへの書き出し
     * @details 成分を空白区切りで出力する
     */
    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Field_Vector &v) {
        for (int i = 0; i < v.dimension (); i++) {
            os << (i ? " ": "") << v[i];
        }
        return os;
    }

    /**
     * @brief 内積を計算する
     * @param w 相手のベクトル
     * @return F 内積の結果
     */
    F inner(const Field_Vector<F> &w) const {
        assert(dimension() == w.dimension());

        F res = F(0);
        for (int i = 0; i < dimension (); i++) { res += (*this)[i] * w[i]; }
        return res;
    }

    /**
     * @brief 単位ベクトルを生成する
     * @param n 次元
     * @param i 1 にするインデックス
     * @return Field_Vector 第 i 成分が 1 で、他が 0 のベクトル
     */
    static Field_Vector Unit(int n, int i) {
        Field_Vector v(n);
        if (i >= 0 && i < n) v[i] = F(1);
        return v;
    }
};

/**
 * @brief スカラー * ベクトル
 * @tparam F 体の型
 * @param a スカラー
 * @param v ベクトル
 * @return Field_Vector<F> 結果
 */
template<typename F>
Field_Vector<F> operator* (const F &a, const Field_Vector<F> &v) { return v * a; }

/**
 * @brief 二つのベクトルの内積を計算する便利関数
 * @tparam F 体の型
 * @param u ベクトル1
 * @param v ベクトル2
 * @return F 内積の結果
 */
template<typename F>
F inner(const Field_Vector<F> &u, const Field_Vector<F> &v) { return u.inner(v); }

/**
 * @brief 二つのベクトルの直和を計算する
 * @tparam F 体の型
 * @param u ベクトル1
 * @param v ベクトル2
 * @return Field_Vector<F> 直和の結果
 */
template<typename F>
Field_Vector<F> Direct_Sum(const Field_Vector<F> &u, const Field_Vector<F> &v) {
    vector<F> res_vec;
    res_vec.reserve(u.dimension() + v.dimension());
    res_vec.insert(res_vec.end(), u.begin(), u.end());
    res_vec.insert(res_vec.end(), v.begin(), v.end());
    return Field_Vector<F>(res_vec);
}

/**
 * @brief 複数のベクトルの直和を計算する
 * @tparam F 体の型
 * @param vs ベクトルのリスト
 * @return Field_Vector<F> 直和の結果
 */
template<typename F>
Field_Vector<F> Direct_Sum(const vector<Field_Vector<F>> &vs) {
    int total_dim = 0;
    for (const auto &v : vs) total_dim += v.dimension();

    vector<F> res_vec;
    res_vec.reserve(total_dim);
    for (const auto &v : vs) {
        res_vec.insert(res_vec.end(), v.begin(), v.end());
    }
    return Field_Vector<F>(res_vec);
}

/**
 * @brief 行列 A によるベクトル v の線形変換（作用） Ax を計算する
 * @param A 行列
 * @param v ベクトル
 * @return Field_Vector<F> 変換後のベクトル
 */
template<typename F>
Field_Vector<F> Action(const Field_Matrix<F> &A, const Field_Vector<F> &v) {
    assert(A.col == v.dimension());

    Field_Vector<F> res(A.row);
    for (int i = 0; i < A.row; i++) {
        for (int j = 0; j < A.col; j++) {
            res[i] += A[i, j] * v[j];
        }
    }

    return res;
}
#line 4 "Linear_Algebra/Field_Vector_Space.hpp"

template<typename F>
class Field_Vector_Space {
    private:
    vector<int> index;
    vector<Field_Vector<F>> basis;
    int n;

    public:
    Field_Vector_Space(const int _n): n(_n) { basis.clear(); }
    Field_Vector_Space(const int _n, const vector<Field_Vector<F>> &vectors): n(_n) {
        for (Field_Vector<F> v: vectors) { add_vector(v); }
    }

    /**
     * @brief 零空間 {0} を生成する
     * @param n 全空間の次元
     * @return Field_Vector_Space 零空間を表すオブジェクト
     */
    static Field_Vector_Space Zero_Space(int n) {
        return Field_Vector_Space(n);
    }

    /**
     * @brief 全空間 F^n を生成する
     * @param n 次元
     * @return Field_Vector_Space 全空間を表すオブジェクト
     */
    static Field_Vector_Space Full_Space(int n) {
        Field_Vector_Space res(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res.add_vector(Field_Vector<F>::Unit(n, i));
        }
        return res;
    }

    int dimension() const { return basis.size(); }

    bool add_vector(const Field_Vector<F> &v) {
        Field_Vector<F> w = projection(v);
        if (w.is_zero()) { return false; }

        int i = 0;
        for (; i < n; i++) { unless(w[i] == 0) { break; } }

        w *= w[i].inverse();
        for (int k = 0; k < basis.size(); k++) {
            basis[k] -= basis[k][i] * w;
        }

        index.emplace_back(i);
        basis.emplace_back(w);
        return true;
    }

    Field_Vector<F> projection(const Field_Vector<F> &v) const {
        Field_Vector<F> w = Field_Vector(v);
        for (int k = 0; k < dimension(); k++) {
            w -= w[index[k]] * basis[k];
        }

        return w;
    }

    /**
     * @brief ベクトル v がこの部分空間に含まれるか判定する
     * @param v 判定するベクトル
     * @return true 含まれるとき
     * @return false 含まれないとき
     */
    bool contains(const Field_Vector<F> &v) const {
        return projection(v).is_zero();
    }

    vector<Field_Vector<F>> get_basis() const { return basis; }

    /**
     * @brief 2つの部分空間の和空間 V + W を求める
     */
    Field_Vector_Space operator+(const Field_Vector_Space &other) const {
        assert(n == other.n);
        Field_Vector_Space res(*this);
        for (const auto &v : other.basis) {
            res.add_vector(v);
        }
        return res;
    }

    Field_Vector_Space& operator+=(const Field_Vector_Space &other) {
        assert(n == other.n);
        for (const auto &v : other.basis) {
            add_vector(v);
        }
        return *this;
    }

    /**
     * @brief 部分空間の包含関係 V \subseteq W を判定する
     */
    bool operator<=(const Field_Vector_Space &other) const {
        assert(n == other.n);
        for (const auto &v : basis) {
            unless(other.contains(v)) return false;
        }
        return true;
    }

    /**
     * @brief 部分空間の等価性を判定する
     */
    bool operator==(const Field_Vector_Space &other) const {
        return dimension() == other.dimension() && *this <= other;
    }
};
#line 5 "Linear_Algebra/Matrix_Vectors.hpp"

// A の行ベクトルからなる列を生成する.
template<typename F>
vector<Field_Vector<F>> Row_Vectors(const Field_Matrix<F> &A) {
    vector<Field_Vector<F>> row_vectors(A.row, Field_Vector<F>(A.col));
    for (int i = 0; i < A.row; i++) { row_vectors[i] = Field_Vector(A.mat[i]); }

    return row_vectors;
}

// A の列ベクトルからなる列を生成する.
template<typename F>
vector<Field_Vector<F>> Column_Vectors(const Field_Matrix<F> &A) {
    vector<vector<F>> tmp(A.col, vector<F>(A.row));
    for (int i = 0; i < A.row; i++) {
        for (int j = 0; j < A.col; j++) {
            tmp[j][i] = A.mat[i][j];
        }
    }

    vector<Field_Vector<F>> column_vectors(A.col, Field_Vector<F>(A.row));
    for (int j = 0; j < A.col; j++) { column_vectors[j] = Field_Vector(tmp[j]); }
    return column_vectors;
}

template<typename F>
Field_Vector<F> operator* (const Field_Matrix<F> &A, const Field_Vector<F> &v) {
    vector<F> pre_w(A.row, F(0));
    for (int i = 0; i < A.row; i++) {
        for (int j = 0; j < A.col; j++) {
            pre_w[i] += A.mat[i][j] * v[j];
        }
    }

    return Field_Vector(pre_w);
}
#line 2 "Linear_Algebra/Reduction.hpp"

#line 4 "Linear_Algebra/Reduction.hpp"

template<typename F>
Field_Matrix<F> Row_Reduce(const Field_Matrix<F> &A) {
    if (A.row == 0) { return Field_Matrix(A); }

    vector<vector<F>> X(A.mat);
    for (int i = 0, j = 0; i < A.row && j < A.col; j++) {
        if(X[i][j] == 0) {
            int p = i + 1;
            for (; p < A.row; p++) {
                if (X[p][j] == 0) { continue; }

                swap(X[p], X[i]);
                break;
            }

            if (p == A.row) { continue; }
        }

        F u = X[i][j], u_inv = u.inverse();
        for (int q = 0; q < A.col; q++) { X[i][q] *= u_inv; }

        for (int p = 0; p < A.row; p++) {
            if (p == i) { continue; }

            F v = X[p][j];
            for (int q = 0; q < A.col; q++) { X[p][q] -= v * X[i][q]; }
        }

        i++;
    }

    return Field_Matrix<F>(X);
}
#line 6 "Linear_Algebra/Matrix_Subspaces.hpp"

/**
 * @brief 行列 A の行空間 (Row Space) を求める
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @return Field_Vector_Space<F> 行空間
 */
template<typename F>
Field_Vector_Space<F> Row_Space(const Field_Matrix<F> &A) {
    return Field_Vector_Space<F>(A.col, Row_Vectors(A));
}

/**
 * @brief 行列 A の列空間 (Column Space / Image) を求める
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @return Field_Vector_Space<F> 列空間
 */
template<typename F>
Field_Vector_Space<F> Column_Space(const Field_Matrix<F> &A) {
    return Field_Vector_Space<F>(A.row, Column_Vectors(A));
}

/**
 * @brief 線形方程式 Ax = b を解く
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @param b ベクトル
 * @return std::optional<std::pair<Field_Vector<F>, Field_Vector_Space<F>>>  {特殊解, 解空間（核）}. 解が存在しない場合は nullopt
 */
template<typename F>
optional<pair<Field_Vector<F>, Field_Vector_Space<F>>> Solve_Linear_System(const Field_Matrix<F> &A, const Field_Vector<F> &b) {
    using Matrix = Field_Matrix<F>;
    using Vector = Field_Vector<F>;

    assert(A.row == b.dimension());

    // A は m 行 n 列
    int m = A.row, n = A.col;

    // 拡大係数行列 M = [A | b] を構築
    Matrix M(m, n + 1);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) M[i][j] = A[i][j];
        M[i][n] = b[i];
    }

    // M の行基本変形 M_reduce を得る
    Matrix M_reduce = Row_Reduce(M);

    // ピボットの列と自由変数の列を特定
    vector<int> pivots;
    vector<int> free_vars;
    int r = 0;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if (r < m && M_reduce[r][j] != 0) {
            pivots.emplace_back(j);
            r++;
        } else {
            free_vars.push_back(j);
        }
    }

    // 解が存在するか（矛盾がないか）のチェック
    for (int i = r; i < m; i++) { unless (M_reduce[i][n] == 0) return nullopt; }

    // 特殊解 x0 を求める.
    Vector x0(n);
    for (int i = 0; i < r; i++) { x0[pivots[i]] = M_reduce[i][n]; }

    // Ker A の基底を求める.
    vector<Vector> ker_basis(n - r, Vector(n));
    for (int i = 0; i < free_vars.size(); ++i) ker_basis[i][free_vars[i]] = 1;

    for (int i = 0; i < ker_basis.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < r; ++j) {
            ker_basis[i][pivots[j]] = -M_reduce[j][free_vars[i]];
        }
    }


    return make_pair(x0, Field_Vector_Space<F>(n, ker_basis));
}

/**
 * @brief 行列 A の核 (Kernel / Null Space) を求める
 * @tparam F 体の型
 * @param A 行列
 * @return Field_Vector_Space<F> 核空間
 */
template<typename F>
Field_Vector_Space<F> Kernel_Space(const Field_Matrix<F> &A) {
    return Solve_Linear_System(A, Field_Vector<F>(A.row))->second;
}

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