特殊な数列の総和
(Summation/Summation.hpp)

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• Last update: 2026-03-12 00:53:37+09:00
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Outline

特別な数列に対する総和を求める.

Theory

linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r (ak+b)$ は等差数列の総和なので,

\[\sum_{k=l}^r (ak+b) = \dfrac{((al+b)+(ar+b))(r-l+1)}{2} = \dfrac{(a(l+r)+2b)(r-l+1)}{2}\]

である.

relu_linear

$\operatorname{relu}(x) := \max(x, 0)$ とする. このときの $\displaystyle \sum_{k=l}^r \operatorname{relu}(ak+b)$ を求める.

$a = 0$ のときは自明, $a < 0$ のときは,

\[\sum_{k=l}^r \operatorname{relu}(ak+b) = \sum_{k'=l}^r \operatorname{relu}(a (r+l-k')+b) = \sum_{k'=l}^r \operatorname{relu}(-ak'+a(r+l)+b)\]

という式変形を行うことにより, $a > 0$ の場合のみを考えれば良いことがわかる.

$a > 0$ のとき, 整数 $k$ に対して,

\[ak+b \geq 0 \iff k \geq \left \lceil \dfrac{-b}{a} \right \rceil\]

である. $t := \max\left(l, \left \lceil \dfrac{-b}{a} \right \rceil \right)$ とおくことで, 総和の対象は $t$ 以上のみが有効になるため,

\[\sum_{k=l}^r \operatorname{relu}(ak+b) = \sum_{k = l}^{t-1} 0 + \sum_{k = t}^r (ak+b)\]

となる.

max_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r \max(ak+b, ck+d)$ を求める. 実数 $x, y \in \mathbb{R}$ に対して,

\[\max(x, y) = \max(x - y, 0) + y = \operatorname{relu}(x - y) + y\]

であるため,

\[\begin{align*} \sum_{k=l}^r \max(ak+b, ck+d) &= \sum_{k=l}^r \left(\operatorname{relu}((ak+b) - (ck+d)) + (ck+d) \right) \\ &= \sum_{k=l}^r \left(\operatorname{relu}((a-c)k+(b-d)) + (ck+d) \right) \\ &= \sum_{k=l}^r \operatorname{relu}((a-c)k+(b-d)) + \sum_{k=l}^r (ck+d) \\ \end{align*}\]

となる.

min_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r \min(ak+b, ck+d)$ を求める. 実数 $x, y \in \mathbb{R}$ に対して,

\[\min(x, y) = \min(x - y, 0) + y = -\max(x - y, 0) + y = -\operatorname{relu}(-(x-y)) + y\]

である. よって, max_linear と同様にして,

\[\sum_{k=l}^r \min(ak+b, ck+d) = -\sum_{k=l}^r \operatorname{relu}(-(a-c)k-(b-d)) + \sum_{k=l}^r (ck+d)\]

で求められる.

sum_lower_cut_linear, sum_upper_cut_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r \max(ak+b, d), \sum_{k=l}^r \min(ak+b, u)$ はそれぞれ max_linear, min_linear における $c = 0$ の特殊バージョンである.

abs_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r \lvert ak+b \rvert$ を求める. 任意の実数 $x \in \mathbb{R}$ に対して,

\[\lvert x \rvert = \max(x, -x)\]

であるため,

\[\sum_{k=l}^r \lvert ak+b \rvert = \sum_{k=l}^r \max(ak+b, -ak-b)\]

で求められる.

clamp_linear

$d, u \in \mathbb{R}$ は $d \leq u$ であるとする. $x \in \mathbb{R}$ に対して, $\operatorname{clamp}(x)$ を

\[\operatorname{clamp}(x) := \begin{cases} d & (x \lt d) \\ x & (d \leq x \leq u) \\ u & (x \gt u) \end{cases}\]

で定義する. ここで,

\[\operatorname{clamp}(x) = \max(d, \min(x, u))\]

が成り立つ. このとき,

\[\operatorname{clamp}(x) = x - \operatorname{relu}(x-u) + \operatorname{relu}(d-x)\]

が成り立つ. これを証明する.

\[\begin{align*} x - \operatorname{relu}(x-u) + \operatorname{relu}(d-x) &= x + \max(d-x, 0) - \operatorname{relu}(x-u)\\ &= \max(d, x) - \operatorname{relu}(x-u) \cdots (*) \end{align*}\]

である.

$x < u$ のとき

• $\operatorname{relu}(x-u) = 0$.
• $x = \min(x, u)$.

であるため,

\[\begin{align*} (*) &= \max(d, x) - \operatorname{relu}(x-u) \\ &= \max(d, x) \\ &= \max(d, \min(x, u)) \\ &= \operatorname{clamp}(x) \end{align*}\]

となる.

$x \geq u$ のとき

• $\operatorname{relu}(x-u) = x-u$.
• $d-(x-u) \geq d \leq u$.
• $u = \min(x, u)$.

であるため,

\[\begin{align*} (*) &= \max(d, x) - \operatorname{relu}(x-u) \\ &= \max(d, x) - (x-u)\\ &= \max(d - (x - u), u) \\ &= u \\ &= \max(d, u) \\ &= \max(d, \min(x, u)) \\ &= \operatorname{clamp}(x) \end{align*}\]

となる.

よって,

\[\operatorname{clamp}(x) = x - \operatorname{relu}(x-u) + \operatorname{relu}(d-x)\]

であるため, 右辺についてそれぞれ総和を取ることで総和を計算できる.

sum_sq

\[\sum_{k=0}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

である.

square_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r (ak+b)^2$ はこの後説明する sum_product_linear における $c = a, d = b$ の特別パターンである.

sum_product_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r (ak+b)(ck+d)$ は

\[(ak+b)(ck+d) = ack^2 + (ad+bc) k + bd\]

であるため,

\[\sum_{k=l}^r (ak+b)(ck+d) = ac \sum_{k=l}^r k^2 + \sum_{k=l}^r ((ac+bd)k + bd)\]

で求められる.

product_relu_linear

$\displaystyle \sum_{k=l}^r \operatorname{relu}(ak+b) \operatorname{relu}(ck+d)$ を求める. $a, c$ の符号に注意して, $ak+b, ck+d$ が共に正になる $k$ の範囲を求める (そのような $k$ が存在するならば, その範囲は区間になる).

この範囲の中では, sum_product_linear で求められる.

Contents

linear

template<typename T>
T linear(T a, T b, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r (ak+b)$ を求める.

relu_linear

template<typename T>
T relu_linear(T a, T b, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r \operatorname{relu}(ak+b)$ を求める.

max_linear

template<typename T>
T max_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r \max(ak+b, ck+d)$ を求める.

template<typename T>
T max_linear(T a, T b, T d, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r \max(ak+b, d)$ を求める.

min_linear

template<typename T>
T min_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r \min(ak+b, ck+d)$ を求める.

template<typename T>
T min_linear(T a, T b, T u, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r \min(ak+b, u)$ を求める.

min_linear

template<typename T>
T abs_linear(T a, T b, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=l}^r \lvert ak+b \rvert$ を求める.

clamp_linear

template<typename T>
T clamp_linear(T a, T b, T d, T u, T l, T r)

• 下側を $d$, 上側を $u$ とした $\displaystyle \sum_{k=l}^r \operatorname{clamp}(x)$ を求める.

sum_sq

template<typename T>
T sum_sq(T n)

• $\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2$ を求める.

square_linear

template<typename T>
T square_linear(T a, T b, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=0}^n (ak+b)^2$ を求める.

sum_product_linear

template<typename T>
T sum_product_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=0}^n (ak+b)(ck+d)$ を求める.

product_relu_linear

template<typename T>
T product_relu_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r)

• $\displaystyle \sum_{k=0}^n \operatorname{relu}(ak+b) \operatorname{relu}(ck+d)$ を求める.

History

日付	内容
2026/03/01	Summation 系のメソッドの実装

Depends on

• template/bitop.hpp
• template/exception.hpp
• template/inout.hpp
• template/macro.hpp
• template/math.hpp
• template/template.hpp
• template/utility.hpp

Required by

• 条件を満たす整数の組の計上 (Summation/Counting.hpp)

Code

#pragma once

#include "../template/template.hpp"

namespace summation {
    /**
     * @brief 等差数列の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} (a * k + b)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T linear(T a, T b, T l, T r) {
        if (l > r) return 0;

        T num_terms = r - l + 1;
        T sum_k = num_terms * (l + r) / 2;
        T sum_b = num_terms * b;
        return a * sum_k + sum_b;
    }

    /**
     * @brief ReLU(一次関数) の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} max(0, a * k + b)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T relu_linear(T a, T b, T l, T r) {
        if (a == 0) { return (r - l + 1) * max<T>(0, b); }
        if (a < 0) { return relu_linear(-a, a * (r + l) + b, l, r); }

        // ここに到達した段階で a > 0 が保証される

        if (a * r + b <= 0) return 0;

        T t = max<T>(l, div_ceil(-b, a));

        return linear(a, b, t, r);
    }

    /**
     * @brief 2つの一次関数の最大値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} max(a * k + b, c * k + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T max_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        return relu_linear(a - c, b - d, l, r) + linear(c, d, l, r);
    }

    /**
     * @brief 一次関数と定数の最大値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} max(a * k + b, d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param d 定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T max_linear(T a, T b, T d, T l, T r) { return max_linear(a, b, 0, d, l, r); }

    /**
     * @brief 2つの一次関数の最小値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} min(a * k + b, c * k + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T min_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        return -relu_linear(-(a - c), -(b - d), l, r) + linear(c, d, l, r);
    }

    /**
     * @brief 一次関数と定数の最小値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} min(a * k + b, d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param d 定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T min_linear(T a, T b, T u, T l, T r) { return min_linear(a, b, 0, u, l, r); }

    /**
     * @brief 一次関数の絶対値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} |a * k + b|
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T abs_linear(T a, T b, T l, T r) {
        return max_linear(a, b, -a, -b, l, r);
    }

    /**
     * @brief 一次関数を範囲 [d, u] に収めた値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} clamp(a * k + b, d, u)
     * clamp(x, d, u) = min(max(x, d), u)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param d 下限値 d
     * @param u 上限値 u
     * @param l 総和の下限
     * @param r 総和の上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T clamp_linear(T a, T b, T d, T u, T l, T r) {
        return linear(a, b, l, r) - relu_linear(a, b - u, l, r) + relu_linear(-a, d - b, l, r);
    }

    /**
     * @brief 0 から n までの二乗和を求めます.
     * 
     * sum_{k=0}^{n} k^2
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param n 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T sum_sq(T n) {
        if (n < 0) return 0;
        return n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6;
    }

    /**
     * @brief 一次関数の二乗の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} (a * k + b)^2
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T square_linear(T a, T b, T l, T r) {
        if (l > r) return 0;
        T sum_1 = (r - l + 1) * (l + r) / 2;
        T sum_2 = sum_sq(r) - sum_sq(l - 1);
        return a * a * sum_2 + 2 * a * b * sum_1 + b * b * (r - l + 1);
    }

    /**
     * @brief 2つの一次関数の積の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} (a * k + b) * (c * k + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T sum_product_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        if (l > r) return 0;
        T n = r - l + 1;
        T sum_k = n * (l + r) / 2;
        T sum_k2 = sum_sq(r) - sum_sq(l - 1);
        return a * c * sum_k2 + (a * d + b * c) * sum_k + b * d * n;
    }

    /**
     * @brief 2つの ReLU(一次関数) の積の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} relu(a * k + b) * relu(c * i + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T product_relu_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        T L = l, R = r;

        if (a > 0) L = max<T>(L, div_ceil(-b, a));
        else if (a < 0) R = min<T>(R, div_floor(-b, a));
        else if (b < 0) return 0;

        if (c > 0) L = max<T>(L, div_ceil(-d, c));
        else if (c < 0) R = min<T>(R, div_floor(-d, c));
        else if (d < 0) return 0;

        if (L > R) return 0;

        return sum_product_linear(a, b, c, d, L, R);
    }
}

#line 2 "Summation/Summation.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 4 "Summation/Summation.hpp"

namespace summation {
    /**
     * @brief 等差数列の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} (a * k + b)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T linear(T a, T b, T l, T r) {
        if (l > r) return 0;

        T num_terms = r - l + 1;
        T sum_k = num_terms * (l + r) / 2;
        T sum_b = num_terms * b;
        return a * sum_k + sum_b;
    }

    /**
     * @brief ReLU(一次関数) の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} max(0, a * k + b)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T relu_linear(T a, T b, T l, T r) {
        if (a == 0) { return (r - l + 1) * max<T>(0, b); }
        if (a < 0) { return relu_linear(-a, a * (r + l) + b, l, r); }

        // ここに到達した段階で a > 0 が保証される

        if (a * r + b <= 0) return 0;

        T t = max<T>(l, div_ceil(-b, a));

        return linear(a, b, t, r);
    }

    /**
     * @brief 2つの一次関数の最大値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} max(a * k + b, c * k + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T max_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        return relu_linear(a - c, b - d, l, r) + linear(c, d, l, r);
    }

    /**
     * @brief 一次関数と定数の最大値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} max(a * k + b, d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param d 定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T max_linear(T a, T b, T d, T l, T r) { return max_linear(a, b, 0, d, l, r); }

    /**
     * @brief 2つの一次関数の最小値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} min(a * k + b, c * k + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T min_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        return -relu_linear(-(a - c), -(b - d), l, r) + linear(c, d, l, r);
    }

    /**
     * @brief 一次関数と定数の最小値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} min(a * k + b, d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param d 定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T min_linear(T a, T b, T u, T l, T r) { return min_linear(a, b, 0, u, l, r); }

    /**
     * @brief 一次関数の絶対値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} |a * k + b|
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T abs_linear(T a, T b, T l, T r) {
        return max_linear(a, b, -a, -b, l, r);
    }

    /**
     * @brief 一次関数を範囲 [d, u] に収めた値の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} clamp(a * k + b, d, u)
     * clamp(x, d, u) = min(max(x, d), u)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param d 下限値 d
     * @param u 上限値 u
     * @param l 総和の下限
     * @param r 総和の上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T clamp_linear(T a, T b, T d, T u, T l, T r) {
        return linear(a, b, l, r) - relu_linear(a, b - u, l, r) + relu_linear(-a, d - b, l, r);
    }

    /**
     * @brief 0 から n までの二乗和を求めます.
     * 
     * sum_{k=0}^{n} k^2
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param n 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T sum_sq(T n) {
        if (n < 0) return 0;
        return n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6;
    }

    /**
     * @brief 一次関数の二乗の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} (a * k + b)^2
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 係数 a
     * @param b 定数 b
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T square_linear(T a, T b, T l, T r) {
        if (l > r) return 0;
        T sum_1 = (r - l + 1) * (l + r) / 2;
        T sum_2 = sum_sq(r) - sum_sq(l - 1);
        return a * a * sum_2 + 2 * a * b * sum_1 + b * b * (r - l + 1);
    }

    /**
     * @brief 2つの一次関数の積の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} (a * k + b) * (c * k + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T sum_product_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        if (l > r) return 0;
        T n = r - l + 1;
        T sum_k = n * (l + r) / 2;
        T sum_k2 = sum_sq(r) - sum_sq(l - 1);
        return a * c * sum_k2 + (a * d + b * c) * sum_k + b * d * n;
    }

    /**
     * @brief 2つの ReLU(一次関数) の積の和を求めます.
     * 
     * sum_{k=l}^{r} relu(a * k + b) * relu(c * i + d)
     * 
     * @tparam T 整数型
     * @param a 第1の一次関数の係数 a
     * @param b 第1の一次関数の定数 b
     * @param c 第2の一次関数の係数 c
     * @param d 第2の一次関数の定数 d
     * @param l 下限
     * @param r 上限
     * @return T 総和
     */
    template<typename T>
    T product_relu_linear(T a, T b, T c, T d, T l, T r) {
        T L = l, R = r;

        if (a > 0) L = max<T>(L, div_ceil(-b, a));
        else if (a < 0) R = min<T>(R, div_floor(-b, a));
        else if (b < 0) return 0;

        if (c > 0) L = max<T>(L, div_ceil(-d, c));
        else if (c < 0) R = min<T>(R, div_floor(-d, c));
        else if (d < 0) return 0;

        if (L > R) return 0;

        return sum_product_linear(a, b, c, d, L, R);
    }
}

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