(等比) x (単項式) の級数
(Summation/Sum_of_Exponential_Times_Polynomial_Limit.hpp)

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• Last update: 2026-04-19 12:18:05+09:00
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Outline

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty r^k k^d$ を求める.

Theory

$| r | < 1$ とする.

(等比) x (単項式) の総和 において, 定数 $C$ と $d$ 次多項式 $f$ を使って $s_n = C + r^N f(n)$ と表せること, そして, $C$ が求められるところまでは同じ.

ここで, $| r | < 1$ であり, $f$ は多項式なので,

\[\lim_{n \to \infty} \left(C + r^N f(n) \right) = C\]

である.

よって,

\[\sum_{n=0}^\infty r^n n^d = C\]

になる.

Contents

template<typename F>
F Sum_of_Exponential_Times_Polynomial(const F r, const int d, const ll n)

• $\displaystyle \sum_{k=0}^n r^k k^d$ を求める.
• 計算量: $O(d)$ 時間.

template<typename F>
F Sum_of_Exponential_Times_Polynomial(const F r, const int d, const ll p, const ll q)

• $\displaystyle \sum_{k=p}^q r^k k^d$ を求める.
• 計算量: $O(d)$ 時間.

History

日付	内容
2026/04/19	Sum_of_Exponential_Times_Polynomial 実装

Depends on

• 組み合わせ論に関する基本的な計算 (Counting/Combination_Calculator.hpp)
• 最小素因数 (Integer/Smallest_Prime_Factor.hpp)
• Math/Enumerate_Geometrics.hpp
• 冪乗の列挙 (Math/Enumerate_Powers.hpp)
• template/bitop.hpp
• template/exception.hpp
• template/inout.hpp
• template/macro.hpp
• template/math.hpp
• template/template.hpp
• template/utility.hpp

Verified with

• verify/yosupo_library_checker/other/Sum_of_Exponential_Times_Polynomial_Limit.test.cpp

Code

#pragma once

#include "../template/template.hpp"
#include "../Counting/Combination_Calculator.hpp"
#include "../Math/Enumerate_Geometrics.hpp"
#include "../Math/Enumerate_Powers.hpp"

template<typename F>
F Sum_of_Exponential_Times_Polynomial_Limit(const F r, const int d) {
    assert(r != F(1));

    vector<F> S(d + 2);
    {
        vector<F> powers = Enumerate_Powers<F>(d + 2, d);
        F r_pow = 1;
        S[0] = powers[0];
        for (int k = 1; k <= d + 1; ++k) {
            r_pow *= r;
            S[k] = S[k - 1] + powers[k] * r_pow;
        }
        vector<F>().swap(powers);
    }

    F P_1 = 0; // 多項式 P(x) の x=1 における値
    {
        F comb = 1;
        F r_pow = 1;
        for (int k = 0; k <= d + 1; ++k) {
            F term = comb * r_pow * S[d + 1 - k];
            is_even(k) ? P_1 += term : P_1 -= term;
            if (k < d + 1) {
                comb *= F(d + 1 - k);
                comb /= F(k + 1);
                r_pow *= r;
            }
        }
    }

    return P_1 / pow(1 - r, d + 1);
}

#line 2 "Summation/Sum_of_Exponential_Times_Polynomial_Limit.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

ll pow(ll x, ll y) { return intpow(x, y); }

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }

// x に立っているなんかしらのビットの番号を出力する.
ll lowest_bit(const ll x) { return floor_log2(x & (-x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 2 "Counting/Combination_Calculator.hpp"

#line 4 "Counting/Combination_Calculator.hpp"

template<typename mint>
class Combination_Calculator {
    private:
    vector<mint> _fact, _fact_inv;

    void resize(const int m) {
        if (m < _fact.size()) { return; }

        int current_size = _fact.size();
        int next_size = min(max(2 * current_size, m + 1), mint::mod());

        _fact.resize(next_size);
        _fact_inv.resize(next_size);

        for (int k = current_size; k < next_size; k++) {
            _fact[k] = k * _fact[k - 1];
        }

        _fact_inv.back() = _fact.back().inverse();

        for (int k = next_size - 2; k >= current_size; --k) {
            _fact_inv[k] = (k + 1) * _fact_inv[k + 1];
        }
    }

    public:
    /**
     * @brief コンストラクタ: 初期サイズnまで階乗・逆階乗を計算する
     * @param n 初期計算の上限
     */
    Combination_Calculator(const int n) {
        _fact.emplace_back(1); _fact.emplace_back(1);
        _fact_inv.emplace_back(1); _fact_inv.emplace_back(1);

        resize(n);
    }

    Combination_Calculator(): Combination_Calculator(0) {}

    /**
     * @brief k! を取得
     */
    mint fact(const int k) {
        resize(k);
        return _fact[k];
    }

    /**
     * @brief (k!)^(-1) を取得
     */
    mint fact_inv(const int k) {
        resize(k);
        return _fact_inv[k];
    }

    /**
     * @brief k の逆元 k^(-1) を求める
     * @param k 逆元を求めたい数
     */
    mint inv(const int k) {
        if (k <= 0) { return 0; }

        resize(k);
        return _fact_inv[k] * _fact[k - 1];
    }

    /**
     * @brief 組み合わせ nCk を計算する
     */
    mint nCr(const int n, const int r) {
        if (!(0 <= r && r <= n)) { return 0; }
        resize(n);
        return _fact[n] * _fact_inv[r] * _fact_inv[n - r];
    }

    /**
     * @brief 順列 nPk を計算する
     */
    mint nPr(const int n, const int r) {
        if (!(0 <= r && r <= n)) { return 0; }
        resize(n);
        return _fact[n] * _fact_inv[n - r];
    }

    /**
     * @brief 重複組合せ nHk を計算する
     */
    mint nHr(const int n, const int r) {
        if (n == 0 && r == 0) { return 1; }

        return nCr(n + r - 1, r);
    }

    /**
     * @brief 多項係数 (k_sum)! / (k1! * k2! * ...) を計算する
     */
    mint multinomial_coefficient(const vector<int> &ks) {
        int k_sum = 0;
        mint lower = 1;
        for (int k: ks) {
            k_sum += k;
            lower *= _fact_inv[k];
        }

        resize(k_sum);

        mint upper = _fact[k_sum];

        return upper * lower;
    }

    mint catalan(const int n) {
        if (n < 0) { return 0; }
        resize(2 * n);
        return _fact[2 * n] * _fact_inv[n + 1] * _fact_inv[n];
    }
};
#line 2 "Math/Enumerate_Geometrics.hpp"

#line 4 "Math/Enumerate_Geometrics.hpp"

template<typename F>
vector<F> Enumerate_Geometrics(const F a, const F r, const int n) {
    vector<F> res(n + 1);
    res[0] = a;
    for (int k = 1; k <= n; ++k) res[k] = r * res[k - 1];

    return res;
}
template<typename F>
vector<F> Enumerate_Geometrics(const F r, const int n) {
    return Enumerate_Geometrics(F(1), r, n);
}
#line 2 "Math/Enumerate_Powers.hpp"

#line 2 "Integer/Smallest_Prime_Factor.hpp"

#line 4 "Integer/Smallest_Prime_Factor.hpp"

namespace prime {
    class Smallest_Prime_Factor {
        private:
        vector<ll> spf; // smallest prime factor

        public:
        Smallest_Prime_Factor(int N): spf(N + 1, 1) {
            if (N <= 1) return;

            for (int x = 2; x <= N; x += 2) spf[x] = 2;
            for (int x = 3; x <= N; x += 6) spf[x] = 3;

            vector<int> primes{2, 3};
            bool parity = 0;
            for (int x = 5; x <= N; x += parity ? 4 : 2, parity ^= true) {
                if (spf[x] == 1) {
                    spf[x] = x;
                    primes.emplace_back(x);
                }

                for (int p: primes) {
                    unless (x <= N / p) break;

                    spf[x * p] = p;
                    if (p == spf[x]) break;
                }
            }
        }

        constexpr inline int smallest_prime_factor(int x) const { return spf[x]; }
        
        /**
         * @brief 整数 x の最小素因数を返します。
         */
        constexpr inline int operator[](int x) const { return spf[x]; }

        vector<pair<long long, long long>> prime_factorization(int n) {
            if (n == 0)  { return vector<pair<long long, long long>>{ make_pair(0, 1) }; }

            vector<pair<long long, long long>> factors;
            if (n < 0) {
                factors.emplace_back(-1, 1);
                n = -n;
            }

            while (n > 1) {
                int p = spf[n];
                int e = 0;
                while (spf[n] == p) {
                    e ++;
                    n /= p;
                }

                factors.emplace_back(p, e);
            }

            return factors;
        }
    };
}
#line 5 "Math/Enumerate_Powers.hpp"

/**
 * @brief 0^k, 1^k, ..., n^k の列挙
 * @details 最小素因数 (SPF) を用いて、0 から n までの整数の k 乗を O(n + \pi(n) \log k) で計算する.
 * @tparam F 値の型 (modint など)
 * @param n 最大値
 * @param k 指数
 * @return vector<F> 長さ n + 1 の配列.res[i] = i^k.
 */
template<typename F>
vector<F> Enumerate_Powers(const int n, const ll k) {
    vector<F> powers(n + 1);
    powers[0] = (k == 0) ? F(1) : F(0);

    // この後, n >= 1 を仮定している部分があるため, n = 0 を例外処理
    if (n == 0) return powers;

    powers[1] = F(1);
    auto spf = prime::Smallest_Prime_Factor(n);

    for (int x = 2; x <= n; ++x) {
        int p = spf[x];
        if (p == x) {
            // x が素数のときはそのまま計算
            powers[x] = pow(F(x), k);
        } else {
            // x が合成数のとき, x の 2 以上 x 未満の約数の 1 つを d とすると,
            // x = d * (x / d) より, x^k = d^k * (x / d)^k である.
            // ここでは, d = p (最小素因数) としている.
            powers[x] = powers[p] * powers[x / p];
        }
    }
    return powers;
}
#line 7 "Summation/Sum_of_Exponential_Times_Polynomial_Limit.hpp"

template<typename F>
F Sum_of_Exponential_Times_Polynomial_Limit(const F r, const int d) {
    assert(r != F(1));

    vector<F> S(d + 2);
    {
        vector<F> powers = Enumerate_Powers<F>(d + 2, d);
        F r_pow = 1;
        S[0] = powers[0];
        for (int k = 1; k <= d + 1; ++k) {
            r_pow *= r;
            S[k] = S[k - 1] + powers[k] * r_pow;
        }
        vector<F>().swap(powers);
    }

    F P_1 = 0; // 多項式 P(x) の x=1 における値
    {
        F comb = 1;
        F r_pow = 1;
        for (int k = 0; k <= d + 1; ++k) {
            F term = comb * r_pow * S[d + 1 - k];
            is_even(k) ? P_1 += term : P_1 -= term;
            if (k < d + 1) {
                comb *= F(d + 1 - k);
                comb /= F(k + 1);
                r_pow *= r;
            }
        }
    }

    return P_1 / pow(1 - r, d + 1);
}

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