平方根 mod
(Modulo/Sqrt.hpp)

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Last update: 2026-03-12 00:53:37+09:00
Include: #include "Modulo/Sqrt.hpp"

Outline

$P$ を素数とする.

$A \in \mathbb{Z}/P \mathbb{Z}$ に対して, $X$ に関する二次方程式 $X^2 = A$ の解の存在判定と, 解の発見を行うアルゴリズムを提供する.

Legendre

int Legendre(const Modulo &A)

$A = a + P \mathbb{Z}$ としたとき, Legendre 記号 $\left(\frac{a}{P}\right)$ を求める.
返り値
- $A = 0$ のときは $\left(\frac{a}{P}\right) = 0$.
- $A \neq 0$ かつ, $A$ が平方剰余のときは $\left(\frac{a}{P}\right) = 1$.
- $A$ が平方非剰余のときは $\left(\frac{a}{P}\right) = -1$.

History

日付	内容
2026/01/01	Sqrt 関連メソッド実装

Depends on

Verified with

verify/yosupo_library_checker/number_theory/Sqrt_Mod.test.cpp

Code

#pragma once

#include"Modulo.hpp"

namespace modulo {
    /// @brief Legendre 記号 (A/p) を求める.
    /// @param A
    /// @return A = 0 ならば 0, A が平方剰余ならば 1, A が平方非剰余ならば -1.
    int Legendre(const Modulo &A) {
        if (A.is_zero()) return 0;

        return pow(A, (A.n - 1) / 2).is_member(1) ? 1 : -1;
    }

    /// @brief X * X = A を満たす Y を 1 つ求める. 存在しない場合は NotExist 例外を raise.
    /// @param A
    /// @return X * X = A を満たす Y のどれか 1 つ
    optional<Modulo> Sqrt(const Modulo &A) {
        if (Legendre(A) == -1) return nullopt;

        ll p = A.n;
        if (A.is_zero()) return A;
        else if (p == 2) return A;
        else if (p % 4 == 3) return pow(A, (p + 1) / 4);
        else if (p % 8 == 5) {
            if (pow(A, (p - 1) / 4).is_member(1)) return pow(A, (p + 3) / 8);
            else return pow(Modulo(2, p), (p - 1) / 4) * pow(A, (p + 3) / 8);
        }

        ll q = p - 1, s = 0;
        while (safe_mod(q, 2) == 0) { q >>= 1; s++; }

        random_device device;
        Modulo z;
        while (true) {
            z = Modulo(device(), p);
            if (Legendre(z) == -1) break;
        }

        int m = s;
        Modulo c = pow(z, q), t = pow(A, q), x = pow(A, (q + 1) / 2);
        while (m > 1) {
            unless (pow(t, intpow(2, m - 2)).is_member(1)) {
                tie (t, x) = make_pair(c * c * t, c * x);
            }

            c *= c;
            m --;
        }

        return x;
    }
}

#line 2 "Modulo/Sqrt.hpp"

#line 2 "Modulo/Modulo.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 4 "Modulo/Modulo.hpp"

namespace modulo {
    class DifferentModulus : public exception {
        public: // publicに指定
        const char* what() const noexcept override { return "異なる法同士の四則演算です"; }
    };

    struct Modulo {
        long long a, n;

        public:
        // 初期化
        Modulo(): a(0), n(1) {}
        Modulo(long long a, long long n): a((a % n + n) % n), n(n) {}

        // マイナス元
        Modulo operator-() const { return Modulo(-a, n); }

        // 加法
        Modulo& operator+=(const Modulo &y) {
            if (n != y.n) { throw DifferentModulus(); }
    
            if ((a += y.a) >= n) a -= n;
            return *this;
        }

        Modulo& operator+=(const long long &y) { return (*this) += Modulo(y, n); }

        friend Modulo operator+(const Modulo &x, const Modulo &y) { return Modulo(x) += y ; }
        friend Modulo operator+(const Modulo &x, const long long &a) { return x + Modulo(a, x.n); }
        friend Modulo operator+(const long long &a, const Modulo &x) { return Modulo(a, x.n) + x; }

        // 減法
        Modulo& operator-=(const Modulo &y) {
            if (n != y.n) { throw DifferentModulus(); }
            if ((a += (n - y.a)) >= n) a -= n;
            return *this;
        }

        Modulo& operator-=(const long long &y) { return (*this) -= Modulo(y, n); }

        friend Modulo operator-(const Modulo &x, const Modulo &y) { return Modulo(x) -= y; }
        friend Modulo operator-(const Modulo &x, const long long &a) { return x - Modulo(a, x.n); }
        friend Modulo operator-(const long long &a, const Modulo &x) { return Modulo(a, x.n) - x; }

        // 乗法
        Modulo& operator*=(const Modulo &y) {
            if (n != y.n) { throw DifferentModulus(); }
            (a *= y.a) %= n;
            return *this;
        }

        Modulo& operator*=(const long long &y){return (*this) *= Modulo(y, n); }

        friend Modulo operator*(const Modulo &x, const Modulo &y) { return Modulo(x) *= y; }
        friend Modulo operator*(const Modulo &x, const long long &a) { return x * Modulo(a,x.n); }
        friend Modulo operator*(const long long &a, const Modulo &x) { return Modulo(a, x.n) * x; }

        // 除法
        Modulo& operator/=(const Modulo &y){
            if (n != y.n) { throw DifferentModulus(); }
            return (*this) *= y.inverse();
        }

        Modulo& operator/=(const long long &y) {return (*this ) /= Modulo(y, n); }

        friend Modulo operator/(const Modulo &x, const Modulo &y) { return Modulo(x) /= y; }
        friend Modulo operator/(const Modulo &x, const long long &a) { return x / Modulo(a, x.n); }
        friend Modulo operator/(const long long &a, const Modulo &x) { return Modulo(a, x.n) / x; }

        // 退化
        Modulo& degenerate(const int m){
            a %= m; n = m;
            return *this;
        }

        // モジュラー逆元
        bool invertible() const {
            long long x = a, y = n;
            while (y) { swap(x = x % y, y); }
            return x == 1;
        }

        Modulo inverse() const{
            long long s = 1, t = 0;
            long long x = a, y = n;
            while (y){
                auto q = x / y;
                swap(x -= q * y, y);
                swap(s -= q * t, t);
            }

            return Modulo(s, n);
        }

        // include?
        bool is_member(ll x) const { return safe_mod(x - a, n) == 0; }

        bool is_zero() const { return is_member(0); }

        // 比較
        friend bool operator==(const Modulo &x, const Modulo &y) { return x.a==y.a; }
        friend bool operator==(const Modulo &x, const long long &a) { return (x.a - a) % x.n == 0; }
        friend bool operator==(const long long &a, const Modulo &x) { return (a - x.a) % x.n == 0; }

        friend bool operator!=(const Modulo &x, const Modulo &y) { return x.a != y.a; }
        friend bool operator!=(const Modulo &x, const long long &a) { return (x.a - a)% x.n != 0; }
        friend bool operator!=(const long long &a, const Modulo &x) { return (a - x.a)% x.n != 0; }

        // 入力
        friend istream &operator>>(istream &is, Modulo &x) {
            long long b, m;
            is >> b >> m;
            x = Modulo(b, m);
            return (is);
        }

        // 出力
        friend ostream &operator<<(ostream &os, const Modulo &x) { return os << x.a << " (mod " << x.n << ")"; }
    };

    Modulo pow(Modulo x, long long n) {
        if (n < 0) { return pow(x, -n).inverse(); }

        auto res = Modulo(1, x.n);
        for (; n; n >>= 1) {
            if (n & 1) { res *= x; }
            x *= x;
        }

        return res;
    }
}
#line 4 "Modulo/Sqrt.hpp"

namespace modulo {
    /// @brief Legendre 記号 (A/p) を求める.
    /// @param A
    /// @return A = 0 ならば 0, A が平方剰余ならば 1, A が平方非剰余ならば -1.
    int Legendre(const Modulo &A) {
        if (A.is_zero()) return 0;

        return pow(A, (A.n - 1) / 2).is_member(1) ? 1 : -1;
    }

    /// @brief X * X = A を満たす Y を 1 つ求める. 存在しない場合は NotExist 例外を raise.
    /// @param A
    /// @return X * X = A を満たす Y のどれか 1 つ
    optional<Modulo> Sqrt(const Modulo &A) {
        if (Legendre(A) == -1) return nullopt;

        ll p = A.n;
        if (A.is_zero()) return A;
        else if (p == 2) return A;
        else if (p % 4 == 3) return pow(A, (p + 1) / 4);
        else if (p % 8 == 5) {
            if (pow(A, (p - 1) / 4).is_member(1)) return pow(A, (p + 3) / 8);
            else return pow(Modulo(2, p), (p - 1) / 4) * pow(A, (p + 3) / 8);
        }

        ll q = p - 1, s = 0;
        while (safe_mod(q, 2) == 0) { q >>= 1; s++; }

        random_device device;
        Modulo z;
        while (true) {
            z = Modulo(device(), p);
            if (Legendre(z) == -1) break;
        }

        int m = s;
        Modulo c = pow(z, q), t = pow(A, q), x = pow(A, (q + 1) / 2);
        while (m > 1) {
            unless (pow(t, intpow(2, m - 2)).is_member(1)) {
                tie (t, x) = make_pair(c * c * t, c * x);
            }

            c *= c;
            m --;
        }

        return x;
    }
}

library_for_cpp

平方根 mod
(Modulo/Sqrt.hpp)

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Legendre

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平方根 mod (Modulo/Sqrt.hpp)

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(Modulo/Sqrt.hpp)