Bezout の等式
(Math/Bezout.hpp)

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Last update: 2026-03-12 00:53:37+09:00
Include: #include "Math/Bezout.hpp"

Outline

整数 $a, b, c \in \mathbb{Z}$ に関して, $x, y \in \mathbb{Z}$ に関する方程式 $ax+by=c$ に関する計算を行う.

Theory

整数 $a, b, c \in \mathbb{Z}$ に関して, 以下は同値になる.

(a) $x, y \in \mathbb{Z}$ に関する不定方程式 $ax+by=c$ は解を持つ.
(b) $g := \gcd(a, b)$ とすると, $c$ は $g$ の倍数である.

特に, $a, b$ が互いに素ならば, $ax+by=1$ は整数解 $(x, y) = (x_0, y_0)$ を持つ. このとき, $ax+by=1, ax_0+by_0=1$ を両辺引くと

\[a (x-x_0) + b(y-y_0) = 0 \quad \therefore a(x-x_0) = -b(y-y_0)\]

となる. このとき, $a,b$ は互いに素なので, $x-x_0$ は $b$ の倍数にならなければならない.

つまり, ある整数 $k$ を用いて, $x-x_0 = bk$ と表せる. これを代入して, 整理すると, $y-y_0=-ak$ も導ける.

よって,

\[x = x_0 + bk, \quad y = y_0 - ak \quad (k \in \mathbb{Z})\]

となる. 逆に, こう表せる整数の組 $(x, y)$ は不定方程式の解になる.

Find_Particular_Solution

template<integral T>
optional<pair<T, T>> Find_Particular_Solution(const T a, const T b, const T c, const pair<T, T> &hint)

template<integral T>
optional<pair<T, T>> Find_Particular_Solution(const T a, const T b, const T c)

$x, y$ に関する整数方程式 $ax+by=c$ を満たす整数解 $(x, y)$ の一例を求める.
hint として, $ap+bq=\gcd(a,b)$ を満たす整数の組 $(p, q)$ を与えると, 一部の計算をスキップできる (同じ $a, b$ に関する沢山の計算を行う場合に有効).

Solve

template<integral T>
optional<tuple<T, T, T, T, T, T>> Solve(T a, T b, T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry, const pair<T, T> &hint)

template<integral T>
optional<tuple<T, T, T, T, T, T>> Solve(T a, T b, T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry)

$x, y$ に関する整数方程式 $ax+by=c$ を満たす整数解 $(x, y)$ の解を求める.
返り値
- 解が存在しない場合は nullopt.
- 解が存在する場合, 6-tuple $(x_0, x_1, y_0, y_1, k_l, k_r)$ が返される. これは以下を意味している.
  - $x = x_0 + k x_1$.
  - $y = y_0 + k y_1$.
  - $k_l \leq k \leq k_r$.
hint として, $ap+bq=\gcd(a,b)$ を満たす整数の組 $(p, q)$ を与えると, 一部の計算をスキップできる (同じ $a, b$ に関する沢山の計算を行う場合に有効).

Count_Solutions

template<integral T>
T Count_Solutions(const T a, const T b, const T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry, const pair<T, T> &hint)

template<integral T>
T Count_Solutions(const T a, const T b, const T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry)

$x, y$ に関する以下の整数方程式を満たす整数解 $(x, y)$ の解を求める.
- $ax+by=c$.
- $l_x \leq x \leq r_x$.
- $l_y \leq y \leq r_y$.
hint として, $ap+bq=\gcd(a,b)$ を満たす整数の組 $(p, q)$ を与えると, 一部の計算をスキップできる (同じ $a, b$ に関する沢山の計算を行う場合に有効).

Find_Non_Negative_Solution

template<integral T>
optional<pair<T, T>> Find_Non_Negative_Solution(const T a, const T b, const T c, const pair<T, T> &hint)

template<integral T>
optional<pair<T, T>> Find_Non_Negative_Solution(const T a, const T b, const T c)

$x, y$ に関する整数方程式 $ax+by=c$ を満たす非負の整数解 $(x, y)$ の一例を求める.
hint として, $ap+bq=\gcd(a,b)$ を満たす整数の組 $(p, q)$ を与えると, 一部の計算をスキップできる (同じ $a, b$ に関する沢山の計算を行う場合に有効).
返り値
- 解が存在しない場合は nullopt.
- 解が存在する場合は非負整数解 $(x, y)$.

History

日付	内容
2026/01/24	Bezout の等式に関する実装

Depends on

Verified with

verify/yukicoder/1358.test.cpp

Code

#pragma once

#include"../template/template.hpp"

namespace bezout {
    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @param hint (p, q) は a p + b q = gcd(a, b) を満たす.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Particular_Solution(const T a, const T b, const T c, const pair<T, T> &hint) {
        T p, q;
        tie (p, q) = hint;

        const T g = a * p + b * q;

        if (g == 0) {
            if (c == 0) { return pair<T, T>(0, 0); }
            return nullopt;
        }

        if (safe_mod(c, g) != 0) { return nullopt; }

        const T k = c / g;
        return pair<T, T>(p * k, q * k);
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Particular_Solution(const T a, const T b, const T c) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Find_Particular_Solution<T>(a, b, c, {p, q});
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) で, lx <= x <= rx, ly <= y <= ry を満たすもののパラメータを求める.
    /// @return {x0, dx, y0, dy, kl, kr}. 解は x = x0 + k * dx, y = y0 + k * dy (kl <= k <= kr) と表される. 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<tuple<T, T, T, T, T, T>> Solve(T a, T b, T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry, const pair<T, T> &hint) {
        T p, q;
        tie (p, q) = hint;
        const T g = a * p + b * q;

        if (safe_mod(c, g) != 0) { return nullopt; }

        a /= g; b /= g; c /= g;

        T tmp_l, tmp_r;
        if (b > 0) {
            tmp_l = lx - c * p;
            tmp_r = rx - c * p;
        } else {
            tmp_l = -(rx - c * p);
            tmp_r = -(lx - c * p);
        }

        T klx = div_ceil(tmp_l, abs<T>(b));
        T krx = div_floor(tmp_r, abs<T>(b));

        if (a > 0) {
            tmp_l = -ry + c * q;
            tmp_r = -ly + c * q;
        } else {
            tmp_l = -(-ly + c * q);
            tmp_r = -(-ry + c * q);
        }

        T kly = div_ceil(tmp_l, abs<T>(a));
        T kry = div_floor(tmp_r, abs<T>(a));

        T kl = max<T>(klx, kly), kr = min<T>(krx, kry);

        if (kl > kr) return nullopt;

        return make_tuple(c * p, b, c * q, -a, kl, kr);
    };

    template<integral T>
    optional<tuple<T, T, T, T, T, T>> Solve(T a, T b, T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Solve<T>(a, b, c, lx, rx, ly, ry, make_pair(p, q));
    };

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) で, lx <= x <= rx, ly <= y <= ry を満たすものの個数を求める.
    /// @return 解の個数.
    template<integral T>
    T Count_Solutions(const T a, const T b, const T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry, const pair<T, T> &hint) {
        auto res = Solve<T>(a, b, c, lx, rx, ly, ry, hint);
        if (!res) return 0;
        auto [x0, dx, y0, dy, kl, kr] = res.value();
        return kr - kl + 1;
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) で, lx <= x <= rx, ly <= y <= ry を満たすものの個数を求める.
    /// @return 解の個数.
    template<integral T>
    T Count_Solutions(const T a, const T b, const T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Count_Solutions<T>(a, b, c, lx, rx, ly, ry, {p, q});
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の非負整数解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Non_Negative_Solution(const T a, const T b, const T c, const pair<T, T> &hint) {
        if (a == 0 && b == 0) {
            if (c == 0) return pair<T, T>(0, 0);
            return nullopt;
        }
        if (a == 0) {
            if (safe_mod(c, b) == 0 && c / b >= 0) return pair<T, T>(0, c / b);
            return nullopt;
        }
        if (b == 0) {
            if (safe_mod(c, a) == 0 && c / a >= 0) return pair<T, T>(c / a, 0);
            return nullopt;
        }

        auto res = Solve<T>(a, b, c, 0, numeric_limits<T>::max(), 0, numeric_limits<T>::max(), hint);
        if (!res) { return nullopt; }

        auto [x0, dx, y0, dy, kl, kr] = res.value();
        return pair<T, T>(x0 + kl * dx, y0 + kl * dy);
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の非負整数解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Non_Negative_Solution(const T a, const T b, const T c) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Find_Non_Negative_Solution<T>(a, b, c, {p, q});
    }
}

#line 2 "Math/Bezout.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 4 "Math/Bezout.hpp"

namespace bezout {
    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @param hint (p, q) は a p + b q = gcd(a, b) を満たす.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Particular_Solution(const T a, const T b, const T c, const pair<T, T> &hint) {
        T p, q;
        tie (p, q) = hint;

        const T g = a * p + b * q;

        if (g == 0) {
            if (c == 0) { return pair<T, T>(0, 0); }
            return nullopt;
        }

        if (safe_mod(c, g) != 0) { return nullopt; }

        const T k = c / g;
        return pair<T, T>(p * k, q * k);
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Particular_Solution(const T a, const T b, const T c) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Find_Particular_Solution<T>(a, b, c, {p, q});
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) で, lx <= x <= rx, ly <= y <= ry を満たすもののパラメータを求める.
    /// @return {x0, dx, y0, dy, kl, kr}. 解は x = x0 + k * dx, y = y0 + k * dy (kl <= k <= kr) と表される. 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<tuple<T, T, T, T, T, T>> Solve(T a, T b, T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry, const pair<T, T> &hint) {
        T p, q;
        tie (p, q) = hint;
        const T g = a * p + b * q;

        if (safe_mod(c, g) != 0) { return nullopt; }

        a /= g; b /= g; c /= g;

        T tmp_l, tmp_r;
        if (b > 0) {
            tmp_l = lx - c * p;
            tmp_r = rx - c * p;
        } else {
            tmp_l = -(rx - c * p);
            tmp_r = -(lx - c * p);
        }

        T klx = div_ceil(tmp_l, abs<T>(b));
        T krx = div_floor(tmp_r, abs<T>(b));

        if (a > 0) {
            tmp_l = -ry + c * q;
            tmp_r = -ly + c * q;
        } else {
            tmp_l = -(-ly + c * q);
            tmp_r = -(-ry + c * q);
        }

        T kly = div_ceil(tmp_l, abs<T>(a));
        T kry = div_floor(tmp_r, abs<T>(a));

        T kl = max<T>(klx, kly), kr = min<T>(krx, kry);

        if (kl > kr) return nullopt;

        return make_tuple(c * p, b, c * q, -a, kl, kr);
    };

    template<integral T>
    optional<tuple<T, T, T, T, T, T>> Solve(T a, T b, T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Solve<T>(a, b, c, lx, rx, ly, ry, make_pair(p, q));
    };

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) で, lx <= x <= rx, ly <= y <= ry を満たすものの個数を求める.
    /// @return 解の個数.
    template<integral T>
    T Count_Solutions(const T a, const T b, const T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry, const pair<T, T> &hint) {
        auto res = Solve<T>(a, b, c, lx, rx, ly, ry, hint);
        if (!res) return 0;
        auto [x0, dx, y0, dy, kl, kr] = res.value();
        return kr - kl + 1;
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の解 (x, y) で, lx <= x <= rx, ly <= y <= ry を満たすものの個数を求める.
    /// @return 解の個数.
    template<integral T>
    T Count_Solutions(const T a, const T b, const T c, const T lx, const T rx, const T ly, const T ry) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Count_Solutions<T>(a, b, c, lx, rx, ly, ry, {p, q});
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の非負整数解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Non_Negative_Solution(const T a, const T b, const T c, const pair<T, T> &hint) {
        if (a == 0 && b == 0) {
            if (c == 0) return pair<T, T>(0, 0);
            return nullopt;
        }
        if (a == 0) {
            if (safe_mod(c, b) == 0 && c / b >= 0) return pair<T, T>(0, c / b);
            return nullopt;
        }
        if (b == 0) {
            if (safe_mod(c, a) == 0 && c / a >= 0) return pair<T, T>(c / a, 0);
            return nullopt;
        }

        auto res = Solve<T>(a, b, c, 0, numeric_limits<T>::max(), 0, numeric_limits<T>::max(), hint);
        if (!res) { return nullopt; }

        auto [x0, dx, y0, dy, kl, kr] = res.value();
        return pair<T, T>(x0 + kl * dx, y0 + kl * dy);
    }

    /// @brief 1次不定方程式 a x + b y = c の非負整数解 (x, y) を 1 組見つける.
    /// @return 解 (x, y). 解が存在しない場合は std::nullopt.
    template<integral T>
    optional<pair<T, T>> Find_Non_Negative_Solution(const T a, const T b, const T c) {
        auto [p, q, g] = Extended_Euclid<T>(a, b);
        return Find_Non_Negative_Solution<T>(a, b, c, {p, q});
    }
}

library_for_cpp

Bezout の等式
(Math/Bezout.hpp)

Outline

Theory

Contents

Find_Particular_Solution

Solve

Count_Solutions

Find_Non_Negative_Solution

History

Depends on

Verified with

Code

Bezout の等式 (Math/Bezout.hpp)

Outline

Theory

Contents

Find_Particular_Solution

Solve

Count_Solutions

Find_Non_Negative_Solution

History

Depends on

Verified with

Code

Bezout の等式
(Math/Bezout.hpp)