疎行列における行列式
(Linear_Algebra/Determinant_of_Sparse_Matrix.hpp)

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Last update: 2026-04-26 13:38:24+09:00
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Outline

体 $F$ 上の疎行列 $A$ に対する行列式 $\det A$ を高速に求める.

Theory

線形漸化式の存在

$A$ を次数 $N$ の行列とする. また, $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in F^N$ とする.

このとき, 以下が従う.

$d_k := \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^k \boldsymbol{v} \right \rangle$ としたとき, 列 $(d_k)$ は線形漸化式を持つ.

証明

Cayley-Hamilton の定理により, $c_0, c_1, \dots, c_{N-1} \in F$ が存在して,

\[A^N = c_{N-1} A^{N-1} + \dots + c_1 A + c_0 I_N\]

が成り立つ.

すると,

\[\begin{align*} d_{N+k} &= \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^{N+k} \boldsymbol{v} \right \rangle \\ &= \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^k (c_{N-1} A^{N-1} + \dots + c_1 A + c_0 I_N) \boldsymbol{v} \right \rangle \\ &= c_{N-1} \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^k \cdot A^{N-1} \boldsymbol{v} \right \rangle + \dots + c_1 \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^k \cdot A \boldsymbol{v} \right \rangle + c_0 \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^k \cdot I_N \boldsymbol{v} \right \rangle \\ &= c_{N-1} \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^{N+k-1} \boldsymbol{v} \right \rangle + \dots + c_1 \left \langle \boldsymbol{u}\mid A^{k+1} \boldsymbol{v} \right \rangle + c_0 \left \langle \boldsymbol{u} \mid A^k \boldsymbol{v} \right \rangle \\ &= c_{N-1} d_{N+k-1} + \dots + c_1 d_{N+1} + c_0 d_N \end{align*}\]

である. 故に, $(d_k)$ は $N$ 次の線形漸化式

\[d_{N+k} = c_{N-1} d_{N+k-1} + \dots + c_1 d_{N+1} + c_0 d_N\]

を持つ.

アルゴリズムの構築

$A$ の固有多項式 $\varphi_A(t) (:= \det(t I_N - A))$ について, $0 \leq k < N$ に対して,

\[\left[t^k \right] \varphi_A = -c_k\]

が成り立つ. ここで,

\[\left[t^0 \right] \varphi_A = \varphi_A(0) = \det(-A) = (-1)^N \det A\]

であるため,

\[\det A = (-1)^{N+1} c_0\]

が成り立つ.

故に, $(d_k)$ が満たす線形漸化式を求められれば良い.

乱択の利用

$\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ をランダムに選ぶことにする.

理論上は, $(d_k)$ が満たす $N$ 次の線形漸化式を求められれば良い.

これは Find_Linear_Recurrence を使うことで, 最小の線形漸化式を求められる. しかし, 全ての場合で対応できるわけではない.

具体的には, $A$ において, 重複した固有値がある場合, 最小の線形漸化式が縮退して, $N$ 次の線形漸化式を得られない.

そのため, $A$ にあるランダムな行列 $B$ をかけて, $B$ の固有値が相異なることを期待する.

$BA$ に関する行列式を上記のアルゴリズムによって得た後,

\[\det A = \dfrac{\det BA}{\det B}\]

によって, $\det A$ を求められる. ただし $\det B \neq 0$ である必要がある.

このアルゴリズムを使うために, $B$ として, 対角行列 $D$を使うことにする.

\[D := \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots \lambda_N)\]

とすると,

\[\det D = \lambda_1 \dots \lambda_N\]

になるため,

\[\det A = \dfrac{\det DA}{\det D}\]

となる. また, $D$ は対角行列なので, $A$ における非零要素の個数と, $DA$ における非零要素の個数は一致する.

計算量について

$A$ の非零要素の個数を $K$ とする. 各 $\boldsymbol{x} \in F^N$ に対して, $A \boldsymbol{x}$ は非零要素のみに着目することで, $O(K)$ 時間で求められる.

ここで, $(d_k)$ は, $N$ 次の線形漸化式を持つため, Find_Linear_Recurrence で線形漸化式を見つけるためには, $2N$ 個の項が必要である.

よって, 必要な計算とその計算量は

$\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, D$ をランダムに決定する: $O(N)$ 時間.
$\boldsymbol{v}, DA\boldsymbol{v}, (DA)^2 \boldsymbol{v}, \dots, (DA)^{2N-1} \boldsymbol{v}$ を求める.
- 各 $(DA)^k \boldsymbol{v}$ の計算に $O(K + N)$ 時間かかるため, 全体で $O(NK + N^2)$ 時間.
各 $k$ について $d_k = \langle \boldsymbol{u} \mid (DA)^k \boldsymbol{v} \rangle$ を求める: 各 $k$ に対して $O(N)$ 時間で, 合計 $O(N^2)$ 時間.
$(d_0, d_1, \dots, d_{2N-1})$ から線形漸化式を求める: $O(N^2)$ 時間.

そのため, 全体の計算量は $O(N (N + K))$ 時間になる.

template<typename F>
F Determinant_of_Sparse_Matrix(const int N, const vector<tuple<int, int, F>> &elements)

$N$ 次の疎行列における行列式を求める.
入力
- $N$: 行列の次数
- $\textrm{elements}$: 整数 $i, j$ と $F$ の元 $a \in F$ からなるトリプル $(i, j, a)$ のリスト. $(i, j, a)$ は $(i, j)$ 成分が $a$ であることを示す. そして, 残りは全て $0$.
計算量: 非零要素の個数. つまり, $\textrm{elements}$ の長さを $K$ として, $O(N (N + K))$ 時間.

History

日付	内容
2026/04/26	Determinant_of_Sparse_Matrix の実装

Depends on

Verified with

verify/yosupo_library_checker/linear_algebra/Determinant_of_Sparse_Matrix.test.cpp

Code

#pragma once

#include "../template/template.hpp"
#include "Find_Linear_Recurrence.hpp"

/**
 * @brief 疎行列の行列式を計算する (Wiedemann法) 
 * @tparam F 体の要素の型 (modint等)
 * @param N 行列のサイズ
 * @param elements 行列の非ゼロ要素 (row, col, value) のリスト
 * @return F 行列式の結果。行列が非正則である可能性が高い場合は 0 を返す
 * @note 計算量: 非零要素の数を K として, O(N * (K + N))
 */
template<typename F>
F Determinant_of_Sparse_Matrix(const int N, const vector<tuple<int, int, F>> &elements) {
    static mt19937 engine(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

    // ランダムなベクトルを生成する
    auto random_vector = [&N, &engine]() -> vector<F> {
        vector<F> res(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i) res[i] = F(engine());

        return res;
    };

    // 各成分が非ゼロであるランダムな対角行列 D とその行列式 det(D) を生成する
    auto random_diagonal_matrix = [&N, &engine]() -> pair<vector<F>, F> {
        vector<F> D(N);

        F det_D = 1;
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            do { D[i] = F(engine()); } while (D[i] == F(0));
            det_D *= D[i];
        }

        return { D, det_D };
    };
    

    // ベクトルの内積を計算する
    auto inner = [&N](const vector<F> &u, const vector<F> &v) -> F {
        F y = 0;
        for (int i = 0; i < N; ++i) y += u[i] * v[i];
        return y;
    };

    vector<F> u = random_vector();
    vector<F> v = random_vector();
    auto [D, det_D] = random_diagonal_matrix();

    vector<F> y(2 * N);

    // 数列 y_k = u^T (DA)^k v を生成 (k = 0 ... 2N-1)
    y[0] = inner(u, v);
    for (int k = 1; k < 2 * N; ++k) {
        vector<F> w(N, 0);
        for (auto [i, j, a]: elements) {
            w[i] += a * v[j];
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) w[i] *= D[i]; // D を適用

        v = std::move(w);
        y[k] = inner(u, v);
    }

    // Berlekamp-Massey 法により最短線形漸化式を求める
    vector<F> c = Find_Linear_Recurrence(y);

    // 最小多項式の次数が N 未満であれば、行列は特異（行列式 0）とみなす
    unless(c.size() == N) return F(0);

    // 最小多項式の定数項から det(DA) を導出
    F det_DA = is_odd(N) ? c[N - 1] : -c[N - 1];
    return det_DA / det_D;
}

#line 2 "Linear_Algebra/Determinant_of_Sparse_Matrix.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

ll pow(ll x, ll y) { return intpow(x, y); }

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }

// x に立っているなんかしらのビットの番号を出力する.
ll lowest_bit(const ll x) { return floor_log2(x & (-x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 3 "Linear_Algebra/Find_Linear_Recurrence.hpp"

/**
 * @brief Berlekamp-Massey法による最短線形漸化式の発見
 * @details 
 * 与えられた数列 a に対して, a[i] = \sum_{j=1}^d c[j-1] a[i-j] を満たす最小の d と係数列 c を求める.
 * 戻り値は [c[0], c[1], ..., c[d-1]].
 * 
 * @tparam F 体の要素の型（加減乗除が定義されており、F(0), F(1), .inverse() 等を持つこと）
 * @param a 数列
 * @return vector<F> 漸化式の係数リスト
 * @note 計算量: O(n^2) (n は a の要素数)
 */
template <typename F>
vector<F> Find_Linear_Recurrence(const vector<F>& a) {
    int n = int(a.size());
    vector<F> c = {F(1)}; // 現在の特性多項式
    {
        vector<F> b = {F(1)}; // 更新用（過去の失敗した）多項式
        int l = 0, m = 0;     // l: 現在の漸化式の長さ, m: 前回の更新からのステップ数
        F p(1);               // p: 前回の不一致 (discrepancy)
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            m++;
            F d = a[i]; // d: 現在の不一致

            for (int j = 1; j <= l; ++j) d += c[j] * a[i - j];

            if (d == F(0)) continue;

            vector<F> t = c; // 次数更新用に現在の c を保存
            F q = d / p;     // 修正係数
            if (c.size() < b.size() + m) c.resize(b.size() + m, F(0));

            for (int j = 0; j < int(b.size()); ++j) c[j + m] -= q * b[j];

            unless (2 * l <= i) continue;

            b = std::move(t);
            l = i + 1 - l;
            m = 0;
            p = d;
        }
    }

    vector<F> res;
    res.reserve(c.size() - 1);
    for (int i = 1; i < int(c.size()); ++i) {
        res.push_back(-c[i]);
    }
    return res;
}
#line 5 "Linear_Algebra/Determinant_of_Sparse_Matrix.hpp"

/**
 * @brief 疎行列の行列式を計算する (Wiedemann法) 
 * @tparam F 体の要素の型 (modint等)
 * @param N 行列のサイズ
 * @param elements 行列の非ゼロ要素 (row, col, value) のリスト
 * @return F 行列式の結果。行列が非正則である可能性が高い場合は 0 を返す
 * @note 計算量: 非零要素の数を K として, O(N * (K + N))
 */
template<typename F>
F Determinant_of_Sparse_Matrix(const int N, const vector<tuple<int, int, F>> &elements) {
    static mt19937 engine(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

    // ランダムなベクトルを生成する
    auto random_vector = [&N, &engine]() -> vector<F> {
        vector<F> res(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i) res[i] = F(engine());

        return res;
    };

    // 各成分が非ゼロであるランダムな対角行列 D とその行列式 det(D) を生成する
    auto random_diagonal_matrix = [&N, &engine]() -> pair<vector<F>, F> {
        vector<F> D(N);

        F det_D = 1;
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            do { D[i] = F(engine()); } while (D[i] == F(0));
            det_D *= D[i];
        }

        return { D, det_D };
    };
    

    // ベクトルの内積を計算する
    auto inner = [&N](const vector<F> &u, const vector<F> &v) -> F {
        F y = 0;
        for (int i = 0; i < N; ++i) y += u[i] * v[i];
        return y;
    };

    vector<F> u = random_vector();
    vector<F> v = random_vector();
    auto [D, det_D] = random_diagonal_matrix();

    vector<F> y(2 * N);

    // 数列 y_k = u^T (DA)^k v を生成 (k = 0 ... 2N-1)
    y[0] = inner(u, v);
    for (int k = 1; k < 2 * N; ++k) {
        vector<F> w(N, 0);
        for (auto [i, j, a]: elements) {
            w[i] += a * v[j];
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) w[i] *= D[i]; // D を適用

        v = std::move(w);
        y[k] = inner(u, v);
    }

    // Berlekamp-Massey 法により最短線形漸化式を求める
    vector<F> c = Find_Linear_Recurrence(y);

    // 最小多項式の次数が N 未満であれば、行列は特異（行列式 0）とみなす
    unless(c.size() == N) return F(0);

    // 最小多項式の定数項から det(DA) を導出
    F det_DA = is_odd(N) ? c[N - 1] : -c[N - 1];
    return det_DA / det_D;
}

library_for_cpp

疎行列における行列式
(Linear_Algebra/Determinant_of_Sparse_Matrix.hpp)

Outline

Theory

線形漸化式の存在

アルゴリズムの構築

乱択の利用

計算量について

Contents

History

Depends on

Verified with

Code

疎行列における行列式 (Linear_Algebra/Determinant_of_Sparse_Matrix.hpp)

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乱択の利用

計算量について

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