個数制限付き Knapsack 問題
(Knapsack/Knapsack_Limitation.hpp)

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• Last update: 2026-03-29 20:23:33+09:00
• Include: #include "Knapsack/Knapsack_Limitation.hpp"

Outline

Knapsack 問題を解く.

Definition

以下で定義される最大化問題のことを, 「個数制限付き Knapsack 問題」という.

• maximize $\displaystyle \sum_{i=1}^N v_i x_i$.
• subject to
  • $\displaystyle \sum_{i=1}^N w_i x_i \leq W$.
  • $0 \leq x_i \in m_i, x_i \in \mathbb{N}$.

History

日付	内容
2026/03/29	Knapsack_Limitation の実装

Depends on

• Knapsack/Base.hpp
• 0-1 Knapsack 問題 (Knapsack/Knapsack_01.hpp)
• template/bitop.hpp
• template/exception.hpp
• template/inout.hpp
• template/macro.hpp
• template/math.hpp
• template/template.hpp
• template/utility.hpp

Verified with

• verify/aizu_online_judge/dpl1/1G.test.cpp

Code

#pragma once

#include "Base.hpp"
#include "Knapsack_01.hpp"

namespace knapsack_problem {
    template<copyable I, integral V, integral W, integral Q>
    class Knapsack_Limitation {
        using ItemList = vector<Item<I, V, W>>;

        public:
        /**
         * @brief 個数制限付きナップサック問題を、0-1ナップサック問題に変換して解く
         * 
         * @param items 詰め込むアイテムのリスト
         * @param limit 各アイテムの使用可能上限数
         * @param capacity ナップサックの容量
         * @return Solution<I, V, W, Q> 最適解の情報
         */
        static Solution<I, V, W, Q> solve_by_weight(const vector<Item<I, V, W>> &items, const vector<Q> &limit, const W capacity) {
            const int n = items.size();

            vector<Item<pair<I, Q>, V, W>> reduced_items;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                const Item<I, V, W> item = items[i];

                int m = limit[i];
                for (Q k = 1; m > 0; m -= k, k = min(2 * k, m)) {
                    reduced_items.emplace_back(Item<pair<I, Q>, V, W>(make_pair(i, k), item.value * k, item.weight * k));
                }
            }

            Solution<pair<I, Q>, V, W, Q> reduced_result = Knapsack_01<pair<I, Q>, V, W, Q>::solve_by_weight(reduced_items, capacity);

            vector<Q> knapsack(n, 0);
            for (int j = 0; j < reduced_items.size(); ++j) {
                if (reduced_result.knapsack[j] == 0) continue;

                auto &[i, q] = reduced_items[j].id;
                knapsack[i] += q;
            }

            return Solution<I, V, W, Q>(items, knapsack);
        }
    };
}

#line 2 "Knapsack/Knapsack_Limitation.hpp"

#line 2 "Knapsack/Base.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 5 "Knapsack/Base.hpp"

namespace knapsack_problem {
    template<std::copyable I, std::integral V, std::integral W>
    struct Item {
        I id;
        V value;
        W weight;

        Item() = default;
        Item(const V value, const W weight): value(value), weight(weight) {}
        Item(const I id, const V value, const W weight): id(id), value(value), weight(weight) {}
    };

    template<std::copyable I, std::integral V, std::integral W, std::integral Q>
    struct Solution {
        private:
        static V calculate_total_value(const vector<Item<I, V, W>> &items, const vector<Q> &knapsack) {
            V total_value = 0;
            for (int i = 0; i < items.size(); ++i) {
                total_value += items[i].value * knapsack[i];
            }
            return total_value;
        }

        public:
        const vector<Item<I, V, W>> items;
        const vector<Q> knapsack;
        const V total_value;

        Solution(const vector<Item<I, V, W>> &items, const vector<Q> &knapsack): items(items), knapsack(knapsack), total_value(calculate_total_value(items, knapsack)){}
    };
}
#line 2 "Knapsack/Knapsack_01.hpp"

#line 5 "Knapsack/Knapsack_01.hpp"

namespace knapsack_problem {
    template<copyable I, integral V, integral W, integral Q>
    class Knapsack_01 {
        using ItemList = vector<Item<I, V, W>>;

        public:
        /**
         * @brief 各アイテムの重さが軽い場合の 0-1 ナップサック問題を動的計画法で解く
         * 
         * @param items 詰め込むアイテムのリスト
         * @param capacity ナップサックの容量
         * @return Solution<I, V, W, Q> 最適解の情報
         */
        static Solution<I, V, W, Q> solve_by_weight(const vector<Item<I, V, W>> &items, const W capacity) {
            int n = items.size();
            vector<vector<V>> dp(n + 1, vector<V>(capacity + 1, 0));

            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                const auto &item = items[i - 1];

                for (W w = 0; w <= capacity; ++w) {
                    dp[i][w] = dp[i - 1][w];
                    if (w >= item.weight) {
                        dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i - 1][w - item.weight] + item.value);
                    }
                }
            }

            W current_weight = static_cast<W>(argmax(dp[n]));
            vector<Q> knapsack(n, 0);

            for (int i = n; i >= 1; --i) {
                const auto &item = items[i - 1];

                if (item.weight <= current_weight && dp[i][current_weight] == dp[i - 1][current_weight - item.weight] + item.value) {
                    current_weight -= item.weight;
                    knapsack[i - 1]++;
                }
            }

            return Solution<I, V, W, Q>(items, knapsack);
        }

        /**
         * @brief 各アイテムの価値が小さい場合の 0-1 ナップサック問題を動的計画法で解く
         * 
         * @param items 詰め込むアイテムのリスト
         * @param capacity ナップサックの容量
         * @return Solution<I, V, W, Q> 最適解の情報
         */
        static Solution<I, V, W, Q> solve_by_value(const vector<Item<I, V, W>> &items, const W capacity) {
            int n = items.size();
            V value_sum = 0;
            for (const auto &item: items) value_sum += item.value;

            vector<vector<W>> dp(n + 1, vector<W>(value_sum + 1, capacity + 1));
            dp[0][0] = 0;

            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                const Item<I, V, W> &item = items[i - 1];

                for (int v = 0; v < item.value; ++v) {
                    dp[i][v] = dp[i - 1][v];
                }

                for (int v = item.value; v <= value_sum; ++v) {
                    dp[i][v] = min(dp[i - 1][v], dp[i - 1][v - item.value] + item.weight);
                }
            }

            V current_value = 0;
            for (int v = value_sum; v >= 0; --v) {
                if (dp[n][v] <= capacity) {
                    current_value = v;
                    break;
                }
            }

            vector<Q> knapsack(n, 0);
            for (int i = n; i >= 1; --i) {
                const auto &item = items[i - 1];

                if (current_value >= item.value && dp[i][current_value] == dp[i - 1][current_value - item.value] + item.weight) {
                    current_value -= item.value;
                    knapsack[i - 1]++;
                }
            }

            return Solution<I, V, W, Q>(items, knapsack);
        }

        /**
         * @brief 半分全列挙を用いて 0-1 ナップサック問題を解く
         * 
         * @param items 詰め込むアイテムのリスト
         * @param capacity ナップサックの容量
         * @return Solution<I, V, W, Q> 最適解の情報
         */
        static Solution<I, V, W, Q> solve_meet_in_the_middle(const vector<Item<I, V, W>> &items, const W capacity) {
            int n = (int)items.size();
            int a = n / 2, b = n - a;

            struct Partial { V v; W w; ll mask; };

            auto get_partials = [&](int offset, int cnt) {
                vector<Partial> res;
                res.reserve(1LL << cnt);
                for (ll S = 0; S < (1LL << cnt); ++S) {
                    V sv = 0; W sw = 0;
                    for (int k = 0; k < cnt; ++k) {
                        unless(get_bit(S, k)) continue;

                        sv += items[offset + k].value;
                        sw += items[offset + k].weight;
                    }

                    if (sw <= capacity) res.push_back({sv, sw, S});
                }

                sort(res.begin(), res.end(), [](const Partial &X, const Partial &Y) { return X.w < Y.w; });
                vector<Partial> filtered;
                for (const auto &p : res) {
                    if (filtered.empty() || p.v > filtered.back().v) filtered.push_back(p);
                }

                return filtered;
            };

            auto A = get_partials(0, a);
            auto B = get_partials(a, b);

            V max_v = 0;
            ll best_a = 0, best_b = 0;
            int b_idx = (int)B.size() - 1;
            for (const auto &pa : A) {
                while (b_idx >= 0 && pa.w + B[b_idx].w > capacity) b_idx--;
                unless (b_idx >= 0) break;
                unless (chmax(max_v, pa.v + B[b_idx].v)) continue;

                best_a = pa.mask;
                best_b = B[b_idx].mask;
            }

            vector<Q> knapsack(n, 0);
            for (int i = 0; i < a; ++i) if (get_bit(best_a, i)) knapsack[i] = 1;
            for (int i = 0; i < b; ++i) if (get_bit(best_b, i)) knapsack[a + i] = 1;

            return Solution<I, V, W, Q>(items, knapsack);
        }
    };
}
#line 5 "Knapsack/Knapsack_Limitation.hpp"

namespace knapsack_problem {
    template<copyable I, integral V, integral W, integral Q>
    class Knapsack_Limitation {
        using ItemList = vector<Item<I, V, W>>;

        public:
        /**
         * @brief 個数制限付きナップサック問題を、0-1ナップサック問題に変換して解く
         * 
         * @param items 詰め込むアイテムのリスト
         * @param limit 各アイテムの使用可能上限数
         * @param capacity ナップサックの容量
         * @return Solution<I, V, W, Q> 最適解の情報
         */
        static Solution<I, V, W, Q> solve_by_weight(const vector<Item<I, V, W>> &items, const vector<Q> &limit, const W capacity) {
            const int n = items.size();

            vector<Item<pair<I, Q>, V, W>> reduced_items;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                const Item<I, V, W> item = items[i];

                int m = limit[i];
                for (Q k = 1; m > 0; m -= k, k = min(2 * k, m)) {
                    reduced_items.emplace_back(Item<pair<I, Q>, V, W>(make_pair(i, k), item.value * k, item.weight * k));
                }
            }

            Solution<pair<I, Q>, V, W, Q> reduced_result = Knapsack_01<pair<I, Q>, V, W, Q>::solve_by_weight(reduced_items, capacity);

            vector<Q> knapsack(n, 0);
            for (int j = 0; j < reduced_items.size(); ++j) {
                if (reduced_result.knapsack[j] == 0) continue;

                auto &[i, q] = reduced_items[j].id;
                knapsack[i] += q;
            }

            return Solution<I, V, W, Q>(items, knapsack);
        }
    };
}

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