有向 Graph における Eulerian Trail
(Graph/Digraph/Eulerian_Trail.hpp)

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• Last update: 2026-03-12 00:53:37+09:00
• Include: #include "Graph/Digraph/Eulerian_Trail.hpp"

Outline

有向 Graph $D = (V, A)$ における Eulerian Trail を求める.

Definition

• 同じ弧を通らない歩道を路という.
• 全ての弧を通る路を Eulerian Trail という.

Theory

以下は同値になる.

• (a) $D$ は Eulerian Trail を持つ.
• (b) 以下が全て従う.
  • (1) $D$ における孤立点以外の任意の頂点は連結である.
  • (2) $v \in V$ の出次数と入次数を $d_{\text{out}}(v), d_{\text{in}}(v)$ として, 以下のうちのどちらか一方が成り立つ.
    • (イ) 任意の頂点において, $d_{\text{out}}(v) = d_{\text{in}}(v)$ である.
    • (ロ) 以下が全て成り立つ.
      • (A) $d_{\text{out}}(s) = d_{\text{in}}(s) + 1$ となる $s \in V$ がただ一つ存在する.
      • (B) $d_{\text{out}}(t) = d_{\text{in}}(t) - 1$ となる $t \in V$ がただ一つ存在する.
      • (C) (A), (B) 以外の残りの頂点 $v \in V$ は全て $d_{\text{out}}(t) = d_{\text{in}}(t)$ である.

History

日付	内容
2026/02/17	有向グラフにおける Eulerian_Trail の実装

Depends on

• 有向 Graph (Graph/Digraph/Digraph.hpp)
• Graph/Digraph/Path.hpp
• template/bitop.hpp
• template/exception.hpp
• template/inout.hpp
• template/macro.hpp
• template/math.hpp
• template/template.hpp
• template/utility.hpp

Verified with

• verify/yosupo_library_checker/graph/Eulerian_Trail_Directed.test.cpp

Code

#pragma once

#include "Digraph.hpp"
#include "Path.hpp"

namespace digraph {
    optional<Path> Eulerian_Trail(const Digraph &D) {
        int n = D.order();
        int m = D.size();
        int start = -1, goal = -1;

        // 必要条件の判定
        for (int v = 0; v < n; ++v) {
            int r = D.out_degree(v) - D.in_degree(v);
            if (abs<int>(r) >= 2) return nullopt;

            if (r == 1) {
                if (start != -1) return nullopt;

                start = v;
            } else if (r == -1) {
                goal = v;
            }
        }

        // start, goal の決定
        if (start == -1) {
            for (int v = 0; v < n; ++v) {
                if (D.out_degree(v) > 0) {
                    start = goal = v;
                    break;
                }
            }

            if (start == -1) start = goal = 0;
        }

        vector<int> iter(n, 0);
        vector<Arc> path;
        auto dfs = [&](auto self, const int v) -> void {
            const auto &arcs = D.successors(v);
            while (iter[v] < arcs.size()) {
                const Arc* arc = arcs[iter[v]++];
                self(self, arc->target);
                path.emplace_back(*arc);
            }
        };

        dfs(dfs, start);

        // 十分性のチェック
        if (path.size() < m) return nullopt;

        reverse(path.begin(), path.end());
        return Path(start, path);
    }
}

#line 2 "Graph/Digraph/Eulerian_Trail.hpp"

#line 2 "Graph/Digraph/Digraph.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 4 "Graph/Digraph/Digraph.hpp"

namespace digraph {
    struct Arc {
        int id, source, target;

        Arc() = default;
        Arc(int id, int source, int target): id(id), source(source), target(target) {}
    };

    class Digraph {
        private:
        int arc_id_offset;
        vector<vector<Arc*>> adjacent_out, adjacent_in;
        vector<Arc> arcs;

        public:
        /**
         * @brief コンストラクタ
         * @param n 頂点数
         * @param arc_id_offset 弧 ID のオフセット
         */
        Digraph(int n, int arc_id_offset = 0): arc_id_offset(arc_id_offset) {
            adjacent_out.assign(n, {});
            adjacent_in.assign(n, {});
            arcs.resize(arc_id_offset);
        }
        
        /**
         * @brief 頂点数を取得する
         * @return int 頂点数
         */
        inline int order() const { return int(adjacent_in.size()); }

        /**
         * @brief 辺数を取得する
         * @return int 辺数
         */
        inline int size() const { return int(arcs.size()) - arc_id_offset; }

        /**
         * @brief 頂点 u から頂点 v への弧を追加する
         * @param u 始点
         * @param v 終点
         * @return Arc* 追加された弧へのポインタ
         */
        Arc* add_arc(int u, int v) {
            int id = int(arcs.size());

            Arc* arc_ptr = new Arc(id, u, v);
            arcs.emplace_back(*arc_ptr);
            
            adjacent_out[u].emplace_back(arc_ptr);
            adjacent_in[v].emplace_back(arc_ptr);

            return arc_ptr;
        }

        /**
         * @brief 頂点 u から出る弧のリストを取得する
         * @param u 頂点
         * @return const vector<Arc*>& 弧のリスト
         */
        inline const vector<Arc*>& successors(int u) const { return adjacent_out[u]; }

        /**
         * @brief 頂点 u に入る弧のリストを取得する
         * @param u 頂点
         * @return const vector<Arc*>& 弧のリスト
         */
        inline const vector<Arc*>& predecessors(int u) const { return adjacent_in[u]; }

        /**
         * @brief 指定された ID の弧を取得する
         * @param id 弧 ID
         * @return const Arc 弧
         */
        inline const Arc get_arc(int id) const { return arcs[id]; }
        inline Arc get_arc(int id) { return arcs[id]; }

        /**
         * @brief 頂点 v の出次数を取得する
         * @param v 頂点
         * @return int 出次数
         */
        inline int out_degree(const int v) const { return adjacent_out[v].size(); }

        /**
         * @brief 頂点 v の入次数を取得する
         * @param v 頂点
         * @return int 入次数
         */
        inline int in_degree(const int v) const { return adjacent_in[v].size(); }

        /**
         * @brief 指定された頂点集合から到達可能な頂点のリストを取得する
         * @param sources 始点の集合
         * @return vector<int> 到達可能な頂点のリスト
         */
        vector<int> forward_reachable(const vector<int> &sources) const {
            const int n = order();
            vector<bool> visited(n, false);
            vector<int> reachable;

            for (const int s : sources) {
                if (s < 0 || s >= n || visited[s]) continue;
                visited[s] = true;
                reachable.emplace_back(s);
            }

            for (int head = 0; head < reachable.size(); ++head) {
                const int u = reachable[head];
                for (const auto *arc : adjacent_out[u]) {
                    const int v = arc->target;
                    if (visited[v]) continue;

                    visited[v] = true;
                    reachable.emplace_back(v);
                }
            }

            return reachable;
        }

        /**
         * @brief 指定された頂点から到達可能な頂点のリストを取得する
         * @param source 始点
         * @return vector<int> 到達可能な頂点のリスト
         */
        vector<int> forward_reachable(const int source) const { return forward_reachable(vector<int>{source}); }

        /**
         * @brief 指定された頂点集合へ到達可能な頂点のリストを取得する
         * @param targets 終点の集合
         * @return vector<int> 到達可能な頂点のリスト
         */
        vector<int> backward_reachable(const vector<int> &targets) const {
            const int n = order();
            vector<bool> visited(n, false);
            vector<int> reachable;

            for (const int t : targets) {
                if (t < 0 || t >= n || visited[t]) continue;
                visited[t] = true;
                reachable.emplace_back(t);
            }

            for (int head = 0; head < reachable.size(); ++head) {
                const int u = reachable[head];
                for (const auto *arc : adjacent_in[u]) {
                    const int v = arc->source;
                    if (visited[v]) continue;

                    visited[v] = true;
                    reachable.emplace_back(v);
                }
            }

            return reachable;
        }

        /**
         * @brief 指定された頂点へ到達可能な頂点のリストを取得する
         * @param target 終点
         * @return vector<int> 到達可能な頂点のリスト
         */
        vector<int> backward_reachable(const int target) const { return backward_reachable(vector<int>{target}); }
    };
}
#line 2 "Graph/Digraph/Path.hpp"

#line 4 "Graph/Digraph/Path.hpp"

namespace digraph {
    struct Path {
        vector<int> vertices;
        vector<Arc> arcs;

        Path(const int first, const vector<Arc> &path): arcs(path) {
            vertices.emplace_back(first);
            for (const auto &arc: path) {
                vertices.emplace_back(arc.target);
            }
        }
    };
}
#line 5 "Graph/Digraph/Eulerian_Trail.hpp"

namespace digraph {
    optional<Path> Eulerian_Trail(const Digraph &D) {
        int n = D.order();
        int m = D.size();
        int start = -1, goal = -1;

        // 必要条件の判定
        for (int v = 0; v < n; ++v) {
            int r = D.out_degree(v) - D.in_degree(v);
            if (abs<int>(r) >= 2) return nullopt;

            if (r == 1) {
                if (start != -1) return nullopt;

                start = v;
            } else if (r == -1) {
                goal = v;
            }
        }

        // start, goal の決定
        if (start == -1) {
            for (int v = 0; v < n; ++v) {
                if (D.out_degree(v) > 0) {
                    start = goal = v;
                    break;
                }
            }

            if (start == -1) start = goal = 0;
        }

        vector<int> iter(n, 0);
        vector<Arc> path;
        auto dfs = [&](auto self, const int v) -> void {
            const auto &arcs = D.successors(v);
            while (iter[v] < arcs.size()) {
                const Arc* arc = arcs[iter[v]++];
                self(self, arc->target);
                path.emplace_back(*arc);
            }
        };

        dfs(dfs, start);

        // 十分性のチェック
        if (path.size() < m) return nullopt;

        reverse(path.begin(), path.end());
        return Path(start, path);
    }
}

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