Interval Set
(Data_Structure/Interval_Set.hpp)

• View this file on GitHub
• Last update: 2026-05-17 12:20:23+09:00
• Include: #include "Data_Structure/Interval_Set.hpp"
• Link: https://github.com/drken1215/algorithm/blob/master/DataStructure/intervals_management.cpp

Outline

区間による一括の挿入や削除及び, それらに付随する処理を高速に行うことができるデータ構造

Contents

constructor

(1) Interval_Set(): Interval_Set(V()) {}
(2) Interval_Set(const V &nil): nil(nil), set_size(0) {}

• デフォルト値を nil として, インスタンスを生成する.

covered

(1) constexpr bool covered(const T &p)
(2) constexpr bool covered(const T &l, const T &r)

• (1) $p$ を要素に持っているか?
• (2) $[l, r)$ を部分集合になるか?
  • $p = l, l + 1, \dots, r-1$ を全て要素に持っているか? と同値
• 引数
  • (1)
    • $p$: 要素
  • (2)
    • $l$: 右半開区間の左端
    • $r$: 右半開区間の右端

begin / end

constexpr typename set<Node>::iterator begin()
constexpr typename set<Node>::iterator end()

• 内部で管理している区間集合（std::set<Node>）のイテレータを返す.
• イテレータをデリファレンスすることで Node オブジェクトが得られ、it->l (左端), it->r (右端), it->val (値) にアクセスできる.

get

constexpr typename set<Node>::iterator get(const T &p) const

• 点 $p$ を含む区間のイテレータを求める.
• $p$ を含む区間が存在しない場合は end() を返す.

lower_bound

constexpr typename set<Node>::iterator lower_bound(const T &p)

• 点 $p$ を含む区間、または $p$ より右側にある最初の区間のイテレータを求める.
• 該当する区間が存在しない場合は end() を返す.

get_value / operator[]

constexpr V get_value(const T &p) const
V operator[](const T &p) const

• 点 $p$ を含む区間に紐づいている値を求める. $p$ を含む区間が存在しない場合は nil を返す.

same

constexpr bool same(const T &p, const T &q)

• 点 $p$ と $q$ が同じ区間に属しているかを判定する.

get_mex

constexpr T get_mex(const T &p = 0)

• $p$ 以上の値のうち、集合に含まれていない最小の値を求める.

size

constexpr size_t size() const

• 集合に含まれる要素の総数（管理されている各区間の長さの合計）を返す.

update

(1) template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void update(T l, T r, const V &val, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del)
(2) void update(const T &l, const T &r, const V &val)

• 区間 $[l, r)$ の値を val で更新する.
• 引数
  • l, r: 更新対象とする右半開区間 $[l, r)$.
  • val: 更新後の値.
  • add: 内部で新たに区間が生成・追加された際に呼び出される関数オブジェクト.
    • シグネチャ: void(T left, T right, V value)
    • 渡される引数: 追加された区間の左端、右端、およびその値.
  • del: 既存の区間が削除、あるいは上書きによって消滅・縮小する際に呼び出される関数オブジェクト.
    • シグネチャ: void(T left, T right, V value)
    • 渡される引数: 削除される直前の区間の左端、右端、およびその値.
• 計算量: ならし $O(\log N)$ ($N$ は現在の区間数)

insert

(1) template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void insert(T l, T r, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del)
(2) void insert(const T &l, const T &r)

• 区間 $[l, r)$ を集合に追加する. 値には V() が用いられる.
• 既存の区間と連続または重複する場合、それらは自動的にマージされる.
• 引数
  • l, r: 挿入する右半開区間 $[l, r)$.
  • add: マージや新規作成によって新たな区間が生成された際に呼び出される関数オブジェクト.
    • シグネチャ: void(T left, T right, V value)
    • 渡される引数: 生成された区間の左端、右端、およびその値 (V()).
  • del: マージによって既存の区間が消滅する際に呼び出される関数オブジェクト.
    • シグネチャ: void(T left, T right, V value)
    • 渡される引数: 消滅する直前の区間の左端、右端、およびその値.

erase

(1) template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void erase(T l, T r, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del)
(2) void erase(const T &l, const T &r)

• 区間 $[l, r)$ を集合から削除する.
• 指定範囲と重なる既存の区間は削除され、必要に応じて端の部分が分割されて残る.
• 引数
  • l, r: 削除対象とする右半開区間 $[l, r)$.
  • add: 既存の区間が $[l, r)$ によって分割され、一部が残る場合に呼び出される関数オブジェクト.
    • シグネチャ: void(T left, T right, V value)
    • 渡される引数: 分割されて残った方の区間の左端、右端、およびその値.
  • del: 既存の区間（またはその一部）が削除される際に呼び出される関数オブジェクト.
    • シグネチャ: void(T left, T right, V value)
    • 渡される引数: 削除される直前の区間（または分割される前の元区間）の左端、右端、およびその値.

Depends on

• template/bitop.hpp
• template/exception.hpp
• template/inout.hpp
• template/macro.hpp
• template/math.hpp
• template/template.hpp
• template/utility.hpp

Code

#pragma once

#include"../template/template.hpp"

// Reference: https://github.com/drken1215/algorithm/blob/master/DataStructure/intervals_management.cpp

template<typename T, class V = ll>
class Interval_Set {
    struct Node {
        T l, r;
        V val;

        /// @brief 値 val が紐づいている, 右半開区間 [l, r) を生成する.
        /// @param l 左端
        /// @param r 右端
        /// @param val 紐づける要素
        Node (const T &l, const T &r, const V &val): l(l), r(r), val(val) {};

        /// @brief p はこの右半開区間に含まれるか?
        /// @param p 
        constexpr bool contains(const T &p) const { return l <= p && p < r; }

        constexpr bool operator<(const Node &rhs) const {
            if (l != rhs.l) { return l < rhs.l; }
            return r < rhs.r;
        }

        friend ostream& operator<<(ostream &os, const Node &node) {
            return os << "([" << node.l << ", " << node.r << "): " << node.val << ")";
        }
    };

    const V nil; // デフォルト値
    size_t set_size;
    set<Node> intervals;

    template<class ADDFUNC>
    void add_update(const ADDFUNC &add, const T l, const T r, const V &val) {
        add(l, r, val);
        set_size += r - l;
    }

    template<class DELFUNC>
    void del_update(const DELFUNC &del, const T l, const T r, const V &val) {
        del(l, r, val);
        set_size -= r - l;
    }

    public:
    Interval_Set(): Interval_Set(V()) {}

    // デフォルト値を nil として, Interval Set インスタンスを生成する.
    Interval_Set(const V &nil): nil(nil), set_size(0) {}

    // iterators
    constexpr typename set<Node>::iterator begin() { return intervals.begin(); }
    constexpr typename set<Node>::iterator end() { return intervals.end(); }

    /// @brief p を含む区間のイテレータを求める (存在しない場合は, end() が返り値).
    /// @param p 
    constexpr typename set<Node>::iterator get(const T &p) const {
        auto it = intervals.upper_bound(Node(p, numeric_limits<T>::max(), 0));
        if (it == intervals.begin()) { return intervals.end(); }

        // ここに来る it は, p を含む区間の次の区間なので, 1 個戻す.
        it = prev(it);

        return it->contains(p) ? it : intervals.end();
    }

    /// @brief p 以上である最小の要素を含んでいる区間のイテレータを求める.
    /// @param p
    constexpr typename set<Node>::iterator lower_bound(const T &p) {
        auto it = get(p);

        if (it != intervals.end()) { return it; }
        return intervals.upper_bound(Node(p, numeric_limits<T>::max(), 0));
    }

    /// @brief p を含むか?
    /// @param p
    constexpr bool covered(const T &p) {
        return get(p) != intervals.end();
    }

    /// @brief 区間 [l, r) を含むか?
    /// @param l 
    /// @param r 
    constexpr bool covered(const T &l, const T &r) {
        assert(l <= r);

        if (l == r) { return true; }

        auto it = get(l);
        return it != intervals.end() && r <= it->r;
    }

    constexpr bool same(const T &p, const T &q) {
        return covered(p) && covered(q) && get(p) == get(q);
    }

    /// @brief p を含む右半開区間に紐づいている値を求める (そのような右半開区間が存在しない場合は nil が返り値)
    /// @param p 
    constexpr V get_value(const T &p) const {
        auto it = get(p);
        return it != intervals.end() ? it->val : nil;
    }

    V operator[](const T &p) const { return get_value(p); }

    constexpr T get_mex(const T &p = 0) {
        auto it = intervals.upper_bound(Node(p, numeric_limits<T>::max(), 0));
        if (it == intervals.begin()) { return p; }

        it = prev(it);

        return it->contains(p) ? it->r : p;
    }

    /// @brief val が紐づいた, 右半開区間 [l, r) を追加または更新する. その際, 発生する差分を add, del 関数で処理する.
    ///        この関数は,新しい区間 [l, r) と既存の区間との重複を適切に処理し,必要に応じて区間の結合,分割,削除を行う.
    /// @param l 左端 (追加または更新する区間の左端)
    /// @param r 右端 (追加または更新する区間の右端)
    /// @param val 右半開区間に紐づける値
    /// @param add 追加差分が発生した際の処理 (引数: T left, T right, V value)
    /// @param del 削除差分が発生した場合の処理 (引数: T left, T right, V value)
    template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void update(T l, T r, const V &val, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del) {
        // 新しく追加または更新する区間 [l, r) の開始点 l 以上で最も近い区間を見つける.
        // これにより,既存の区間との重複チェックを開始する適切な位置を特定する.
        auto it = intervals.lower_bound(Node(l, 0, val));

        // 新しい区間 [l, r) と重なる可能性のある既存の区間を全て処理する.
        // it->l <= r は,現在の区間 it の左端が新しい区間 [l, r) の右端 r 以下であることを示す.
        while (it != intervals.end() && it->l <= r) {
            // Case 0: 新しい区間の右端 r が現在の区間 it の左端 it->l と一致する場合
            // かつ,値も同じ場合は区間を結合する.
            // これ以上右側の区間との重複はないため,ループを抜ける.
            if (r == it->l) {
                if (it->val == val) {
                    r = it->r; // 新しい区間の右端を拡張
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                }
                break;
            }

            // Case 1: 現在の区間 [it->l, it->r) が新しい区間 [l, r) に完全に含まれるか,
            // または,新しい区間の右端 r で終わる場合 (it->r <= r)
            // この区間は新しい区間に上書きされるため,削除する.
            if (it->r <= r) {
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
            } else {
                // Case 2: 新しい区間 [l, r) が現在の区間 [it->l, it->r) の一部と重なる場合
                // (l <= it->l < r < it->r が確定)
                if (it->val == val) {
                    // 値が同じ場合は,新しい区間と現在の区間を結合し,新しい区間の右端を拡張する.
                    // 既存区間は削除される.
                    r = it->r; // 新しい区間の右端を拡張
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                } else {
                    // 値が異なる場合は,現在の区間 [it->l, it->r) を新しい区間によって二分割する.
                    // [it->l, r) の部分は新しい区間によって上書きされるため,[r, it->r) の部分のみが残る.
                    Node node = *it;
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                    // 残りの区間 [r, node.r) を挿入する.
                    it = intervals.emplace_hint(it, r, node.r, node.val);
                    add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                }
            }
        }

        // 新しい区間 [l, r) の左端 l のすぐ左にある既存の区間をチェックする.
        // これにより,新しい区間と左側の既存区間の結合や分割を処理する.
        if (it != intervals.begin()) {
            it = prev(it); // 左側の区間を取得
            // Case 3: 左側の区間 [it->l, it->r) の右端 it->r が新しい区間の左端 l と一致する場合
            if (it->r == l) {
                if (it->val == val) {
                    // 値が同じ場合は,両区間を結合し,新しい区間の左端を拡張する.
                    l = it->l;
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                }
            } else if (l < it->r) {
                // Case 4: 左側の区間 [it->l, it->r) が新しい区間 [l, r) と重なる場合
                // (it->l < l < it->r が確定)
                if (it->val == val) {
                    // 値が同じ場合は,両区間を結合し,新しい区間の範囲を拡張する.
                    l = min(l, it->l);
                    r = max(r, it->r);
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                } else {
                    // 値が異なる場合は,左側の区間 [it->l, it->r) を新しい区間によって二分割する.
                    // [it->l, l) の部分と [l, it->r) の部分に分けられ,
                    // 後者は新しい区間によって上書きされるため,[it->l, l) の部分のみが残る.
                    if (r < it->r) { // 新しい区間が左側の区間の一部をカバーする場合
                        // 左側の区間の残りの部分 [r, it->r) を挿入
                        it = intervals.emplace_hint(next(it), r, it->r, it->val);
                        add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                        it = prev(it); // イテレータを元に戻す
                    }
                    Node node = *it;
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                    // 残りの区間 [node.l, l) を挿入する.
                    it = intervals.emplace_hint(it, node.l, l, node.val);
                    add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                }
            }
        }

        // 適切な位置にイテレータを調整する.
        if (it != intervals.end()) { it = next(it); }

        // 最終的に確定した新しい区間 [l, r) を挿入する.
        it = intervals.emplace_hint(it, l, r, val);
        add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
    }

    void update(const T &l, const T &r, const V &val) {
        update(l, r, val, [](T, T, V){}, [](T, T, V){});
    }

    /// @brief 右半開区間 [l, r) を追加または更新する. その際, 発生する差分を add, del 関数で処理する.
    ///        この関数は,新しい区間 [l, r) と既存の区間との重複を適切に処理し,必要に応じて区間の結合,分割,削除を行う.
    /// @param l 左端 (追加または更新する区間の左端)
    /// @param r 右端 (追加または更新する区間の右端)
    /// @param add 追加差分が発生した際の処理 (引数: T left, T right, V value)
    /// @param del 削除差分が発生した場合の処理 (引数: T left, T right, V value)
    template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void insert(T l, T r, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del) {
        update(l, r, V(), add, del);
    }

    /// @brief 右半開区間 [l, r) を挿入する.
    /// @param l 左端
    /// @param r 右端
    void insert(const T &l, const T &r) {
        update(l, r, V(), [](T, T, V){}, [](T, T, V){});
    }

    /// @brief 右半開区間 [l, r) と重なる既存の区間を削除する.その際,発生する差分を add, del 関数で処理する.
    ///        この関数は,指定された区間 [l, r) と重なる既存の区間を削除し,必要に応じて既存の区間を分割する.
    /// @param l 左端 (削除する区間の左端)
    /// @param r 右端 (削除する区間の右端)
    /// @param add 追加差分が発生した際の処理 (引数: T left, T right, V value) - 分割により一部が残る場合に呼ばれる
    /// @param del 削除差分が発生した場合の処理 (引数: T left, T right, V value)
    template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void erase(T l, T r, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del) {
        // 削除しようとしている区間 [l, r) の開始点 l 以上で最も近い区間を見つける.
        // これにより,既存の区間との重複チェックを開始する適切な位置を特定する.
        auto it = intervals.lower_bound(Node(l, 0, V()));

        // 新しい区間 [l, r) と重なる可能性のある既存の区間を全て処理する.
        // it->l <= r は,現在の区間 it の左端が削除区間 [l, r) の右端 r 以下であることを示す.
        while (it != intervals.end() && it->l < r) { // it->l < r: 削除区間が現在の区間と重なっている間
            // Case 0: 現在の区間 it の左端 it->l が削除区間の右端 r と一致する場合
            // これ以上右側の区間との重複はないため,ループを抜ける.
            if (it->l == r) { break; }

            // Case 1: 現在の区間 [it->l, it->r) が削除区間 [l, r) に完全に含まれるか,
            // または,削除区間の右端 r で終わる場合 (it->r <= r)
            // この区間は完全に削除される.
            if (it->r <= r) {
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
            } else {
                // Case 2: 削除区間 [l, r) が現在の区間 [it->l, it->r) の一部と重なる場合
                // (l <= it->l < r < it->r が確定)
                // 現在の区間は [it->l, r) が削除され,[r, it->r) の部分が残るため,分割される.
                Node node = *it;
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
                // 残りの区間 [r, node.r) を挿入する.
                it = intervals.emplace_hint(it, r, node.r, node.val);
                add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                // これ以上右側の区間との重複はないため,ループを抜ける.
                break;
            }
        }

        // 削除区間 [l, r) の左端 l のすぐ左にある既存の区間をチェックする.
        // これにより,左側の既存区間が削除区間と重なる場合の分割を処理する.
        if (it != intervals.begin()) {
            it = prev(it); // 左側の区間を取得
            if (l < it->r) { // 左側の区間 [it->l, it->r) が削除区間 [l, r) と重なる場合
                // (it->l < l < it->r が確定)
                if (r < it->r) {
                    // 左側の区間 [it->l, it->r) が削除区間 [l, r) を完全に含む場合
                    // [it->l, l) と [r, it->r) の2つの区間に分割される.
                    // まず [r, it->r) を挿入する.
                    it = intervals.emplace_hint(next(it), r, it->r, it->val);
                    add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                    it = prev(it); // イテレータを元に戻す
                }
                // 左側の区間の元の部分 [it->l, it->r) を削除し,
                // 新しい区間 [node.l, l) を挿入する.
                Node node = *it;
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
                it = intervals.emplace_hint(it, node.l, l, node.val);
                add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
            }
        }
    }

    void erase(const T &l, const T &r) {
        erase(l, r, [](T, T, V){}, [](T, T, V){});
    }

    constexpr size_t size() const { return set_size; }
};

#line 2 "Data_Structure/Interval_Set.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

ll pow(ll x, ll y) { return intpow(x, y); }

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }

// x に立っているなんかしらのビットの番号を出力する.
ll lowest_bit(const ll x) { return floor_log2(x & (-x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 4 "Data_Structure/Interval_Set.hpp"

// Reference: https://github.com/drken1215/algorithm/blob/master/DataStructure/intervals_management.cpp

template<typename T, class V = ll>
class Interval_Set {
    struct Node {
        T l, r;
        V val;

        /// @brief 値 val が紐づいている, 右半開区間 [l, r) を生成する.
        /// @param l 左端
        /// @param r 右端
        /// @param val 紐づける要素
        Node (const T &l, const T &r, const V &val): l(l), r(r), val(val) {};

        /// @brief p はこの右半開区間に含まれるか?
        /// @param p 
        constexpr bool contains(const T &p) const { return l <= p && p < r; }

        constexpr bool operator<(const Node &rhs) const {
            if (l != rhs.l) { return l < rhs.l; }
            return r < rhs.r;
        }

        friend ostream& operator<<(ostream &os, const Node &node) {
            return os << "([" << node.l << ", " << node.r << "): " << node.val << ")";
        }
    };

    const V nil; // デフォルト値
    size_t set_size;
    set<Node> intervals;

    template<class ADDFUNC>
    void add_update(const ADDFUNC &add, const T l, const T r, const V &val) {
        add(l, r, val);
        set_size += r - l;
    }

    template<class DELFUNC>
    void del_update(const DELFUNC &del, const T l, const T r, const V &val) {
        del(l, r, val);
        set_size -= r - l;
    }

    public:
    Interval_Set(): Interval_Set(V()) {}

    // デフォルト値を nil として, Interval Set インスタンスを生成する.
    Interval_Set(const V &nil): nil(nil), set_size(0) {}

    // iterators
    constexpr typename set<Node>::iterator begin() { return intervals.begin(); }
    constexpr typename set<Node>::iterator end() { return intervals.end(); }

    /// @brief p を含む区間のイテレータを求める (存在しない場合は, end() が返り値).
    /// @param p 
    constexpr typename set<Node>::iterator get(const T &p) const {
        auto it = intervals.upper_bound(Node(p, numeric_limits<T>::max(), 0));
        if (it == intervals.begin()) { return intervals.end(); }

        // ここに来る it は, p を含む区間の次の区間なので, 1 個戻す.
        it = prev(it);

        return it->contains(p) ? it : intervals.end();
    }

    /// @brief p 以上である最小の要素を含んでいる区間のイテレータを求める.
    /// @param p
    constexpr typename set<Node>::iterator lower_bound(const T &p) {
        auto it = get(p);

        if (it != intervals.end()) { return it; }
        return intervals.upper_bound(Node(p, numeric_limits<T>::max(), 0));
    }

    /// @brief p を含むか?
    /// @param p
    constexpr bool covered(const T &p) {
        return get(p) != intervals.end();
    }

    /// @brief 区間 [l, r) を含むか?
    /// @param l 
    /// @param r 
    constexpr bool covered(const T &l, const T &r) {
        assert(l <= r);

        if (l == r) { return true; }

        auto it = get(l);
        return it != intervals.end() && r <= it->r;
    }

    constexpr bool same(const T &p, const T &q) {
        return covered(p) && covered(q) && get(p) == get(q);
    }

    /// @brief p を含む右半開区間に紐づいている値を求める (そのような右半開区間が存在しない場合は nil が返り値)
    /// @param p 
    constexpr V get_value(const T &p) const {
        auto it = get(p);
        return it != intervals.end() ? it->val : nil;
    }

    V operator[](const T &p) const { return get_value(p); }

    constexpr T get_mex(const T &p = 0) {
        auto it = intervals.upper_bound(Node(p, numeric_limits<T>::max(), 0));
        if (it == intervals.begin()) { return p; }

        it = prev(it);

        return it->contains(p) ? it->r : p;
    }

    /// @brief val が紐づいた, 右半開区間 [l, r) を追加または更新する. その際, 発生する差分を add, del 関数で処理する.
    ///        この関数は,新しい区間 [l, r) と既存の区間との重複を適切に処理し,必要に応じて区間の結合,分割,削除を行う.
    /// @param l 左端 (追加または更新する区間の左端)
    /// @param r 右端 (追加または更新する区間の右端)
    /// @param val 右半開区間に紐づける値
    /// @param add 追加差分が発生した際の処理 (引数: T left, T right, V value)
    /// @param del 削除差分が発生した場合の処理 (引数: T left, T right, V value)
    template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void update(T l, T r, const V &val, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del) {
        // 新しく追加または更新する区間 [l, r) の開始点 l 以上で最も近い区間を見つける.
        // これにより,既存の区間との重複チェックを開始する適切な位置を特定する.
        auto it = intervals.lower_bound(Node(l, 0, val));

        // 新しい区間 [l, r) と重なる可能性のある既存の区間を全て処理する.
        // it->l <= r は,現在の区間 it の左端が新しい区間 [l, r) の右端 r 以下であることを示す.
        while (it != intervals.end() && it->l <= r) {
            // Case 0: 新しい区間の右端 r が現在の区間 it の左端 it->l と一致する場合
            // かつ,値も同じ場合は区間を結合する.
            // これ以上右側の区間との重複はないため,ループを抜ける.
            if (r == it->l) {
                if (it->val == val) {
                    r = it->r; // 新しい区間の右端を拡張
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                }
                break;
            }

            // Case 1: 現在の区間 [it->l, it->r) が新しい区間 [l, r) に完全に含まれるか,
            // または,新しい区間の右端 r で終わる場合 (it->r <= r)
            // この区間は新しい区間に上書きされるため,削除する.
            if (it->r <= r) {
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
            } else {
                // Case 2: 新しい区間 [l, r) が現在の区間 [it->l, it->r) の一部と重なる場合
                // (l <= it->l < r < it->r が確定)
                if (it->val == val) {
                    // 値が同じ場合は,新しい区間と現在の区間を結合し,新しい区間の右端を拡張する.
                    // 既存区間は削除される.
                    r = it->r; // 新しい区間の右端を拡張
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                } else {
                    // 値が異なる場合は,現在の区間 [it->l, it->r) を新しい区間によって二分割する.
                    // [it->l, r) の部分は新しい区間によって上書きされるため,[r, it->r) の部分のみが残る.
                    Node node = *it;
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                    // 残りの区間 [r, node.r) を挿入する.
                    it = intervals.emplace_hint(it, r, node.r, node.val);
                    add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                }
            }
        }

        // 新しい区間 [l, r) の左端 l のすぐ左にある既存の区間をチェックする.
        // これにより,新しい区間と左側の既存区間の結合や分割を処理する.
        if (it != intervals.begin()) {
            it = prev(it); // 左側の区間を取得
            // Case 3: 左側の区間 [it->l, it->r) の右端 it->r が新しい区間の左端 l と一致する場合
            if (it->r == l) {
                if (it->val == val) {
                    // 値が同じ場合は,両区間を結合し,新しい区間の左端を拡張する.
                    l = it->l;
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                }
            } else if (l < it->r) {
                // Case 4: 左側の区間 [it->l, it->r) が新しい区間 [l, r) と重なる場合
                // (it->l < l < it->r が確定)
                if (it->val == val) {
                    // 値が同じ場合は,両区間を結合し,新しい区間の範囲を拡張する.
                    l = min(l, it->l);
                    r = max(r, it->r);
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                } else {
                    // 値が異なる場合は,左側の区間 [it->l, it->r) を新しい区間によって二分割する.
                    // [it->l, l) の部分と [l, it->r) の部分に分けられ,
                    // 後者は新しい区間によって上書きされるため,[it->l, l) の部分のみが残る.
                    if (r < it->r) { // 新しい区間が左側の区間の一部をカバーする場合
                        // 左側の区間の残りの部分 [r, it->r) を挿入
                        it = intervals.emplace_hint(next(it), r, it->r, it->val);
                        add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                        it = prev(it); // イテレータを元に戻す
                    }
                    Node node = *it;
                    del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                    it = intervals.erase(it);
                    // 残りの区間 [node.l, l) を挿入する.
                    it = intervals.emplace_hint(it, node.l, l, node.val);
                    add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                }
            }
        }

        // 適切な位置にイテレータを調整する.
        if (it != intervals.end()) { it = next(it); }

        // 最終的に確定した新しい区間 [l, r) を挿入する.
        it = intervals.emplace_hint(it, l, r, val);
        add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
    }

    void update(const T &l, const T &r, const V &val) {
        update(l, r, val, [](T, T, V){}, [](T, T, V){});
    }

    /// @brief 右半開区間 [l, r) を追加または更新する. その際, 発生する差分を add, del 関数で処理する.
    ///        この関数は,新しい区間 [l, r) と既存の区間との重複を適切に処理し,必要に応じて区間の結合,分割,削除を行う.
    /// @param l 左端 (追加または更新する区間の左端)
    /// @param r 右端 (追加または更新する区間の右端)
    /// @param add 追加差分が発生した際の処理 (引数: T left, T right, V value)
    /// @param del 削除差分が発生した場合の処理 (引数: T left, T right, V value)
    template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void insert(T l, T r, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del) {
        update(l, r, V(), add, del);
    }

    /// @brief 右半開区間 [l, r) を挿入する.
    /// @param l 左端
    /// @param r 右端
    void insert(const T &l, const T &r) {
        update(l, r, V(), [](T, T, V){}, [](T, T, V){});
    }

    /// @brief 右半開区間 [l, r) と重なる既存の区間を削除する.その際,発生する差分を add, del 関数で処理する.
    ///        この関数は,指定された区間 [l, r) と重なる既存の区間を削除し,必要に応じて既存の区間を分割する.
    /// @param l 左端 (削除する区間の左端)
    /// @param r 右端 (削除する区間の右端)
    /// @param add 追加差分が発生した際の処理 (引数: T left, T right, V value) - 分割により一部が残る場合に呼ばれる
    /// @param del 削除差分が発生した場合の処理 (引数: T left, T right, V value)
    template<class ADDFUNC, class DELFUNC>
    void erase(T l, T r, const ADDFUNC &add, const DELFUNC &del) {
        // 削除しようとしている区間 [l, r) の開始点 l 以上で最も近い区間を見つける.
        // これにより,既存の区間との重複チェックを開始する適切な位置を特定する.
        auto it = intervals.lower_bound(Node(l, 0, V()));

        // 新しい区間 [l, r) と重なる可能性のある既存の区間を全て処理する.
        // it->l <= r は,現在の区間 it の左端が削除区間 [l, r) の右端 r 以下であることを示す.
        while (it != intervals.end() && it->l < r) { // it->l < r: 削除区間が現在の区間と重なっている間
            // Case 0: 現在の区間 it の左端 it->l が削除区間の右端 r と一致する場合
            // これ以上右側の区間との重複はないため,ループを抜ける.
            if (it->l == r) { break; }

            // Case 1: 現在の区間 [it->l, it->r) が削除区間 [l, r) に完全に含まれるか,
            // または,削除区間の右端 r で終わる場合 (it->r <= r)
            // この区間は完全に削除される.
            if (it->r <= r) {
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
            } else {
                // Case 2: 削除区間 [l, r) が現在の区間 [it->l, it->r) の一部と重なる場合
                // (l <= it->l < r < it->r が確定)
                // 現在の区間は [it->l, r) が削除され,[r, it->r) の部分が残るため,分割される.
                Node node = *it;
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
                // 残りの区間 [r, node.r) を挿入する.
                it = intervals.emplace_hint(it, r, node.r, node.val);
                add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                // これ以上右側の区間との重複はないため,ループを抜ける.
                break;
            }
        }

        // 削除区間 [l, r) の左端 l のすぐ左にある既存の区間をチェックする.
        // これにより,左側の既存区間が削除区間と重なる場合の分割を処理する.
        if (it != intervals.begin()) {
            it = prev(it); // 左側の区間を取得
            if (l < it->r) { // 左側の区間 [it->l, it->r) が削除区間 [l, r) と重なる場合
                // (it->l < l < it->r が確定)
                if (r < it->r) {
                    // 左側の区間 [it->l, it->r) が削除区間 [l, r) を完全に含む場合
                    // [it->l, l) と [r, it->r) の2つの区間に分割される.
                    // まず [r, it->r) を挿入する.
                    it = intervals.emplace_hint(next(it), r, it->r, it->val);
                    add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
                    it = prev(it); // イテレータを元に戻す
                }
                // 左側の区間の元の部分 [it->l, it->r) を削除し,
                // 新しい区間 [node.l, l) を挿入する.
                Node node = *it;
                del_update(del, it->l, it->r, it->val); // 既存区間を削除 (del 関数で差分を通知)
                it = intervals.erase(it);
                it = intervals.emplace_hint(it, node.l, l, node.val);
                add_update(add, it->l, it->r, it->val); // 追加された区間を通知 (add 関数で差分を通知)
            }
        }
    }

    void erase(const T &l, const T &r) {
        erase(l, r, [](T, T, V){}, [](T, T, V){});
    }

    constexpr size_t size() const { return set_size; }
};

Back to top page