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:heavy_check_mark: Nimber
(Algebra/Nimber.hpp)

Outline

組み合わせゲーム理論において用いられる Nim から導入された Nimber の計算を行う.

Theory

非負整数 $n$ に対して,

\[F_n := \{0, 1, \dots, 2^n - 1 \}\]

とする.

加法

$F_n$ 上の演算 $\oplus: F_n \times F_n \to F_n$ を

\[x \oplus y := \mathrm{mex} \left(\{ a \oplus y \mid 0 \leq a < x \} \cup \{ x \oplus b \mid 0 \leq b < y \} \right)\]

によって帰納的に定める. ただし, $S \subsetneq \mathbb{N}$ に対して, $S$ の最小除外数 $\mathrm{mex}~S$ を

\[\mathrm{mex}~S := \min (\mathbb{N} \setminus S)\]

で定義する.

すると, $\oplus$ は Bitwise-XOR と一致する.

このことから, 以下が従う.

乗法

$F_{2^n}$ 上の演算 $\otimes: F_{2^n} \times F_{2^n} \to F_{2^n}$ を

\[x \otimes y := \mathrm{mex} \left(\{(a \otimes y) \oplus (x \otimes b) \oplus (a \otimes b) \mid 0 \leq a < x, 0 \leq b < y\} \right)\]

によって帰納的に定める.

このとき, $(F_{2^n}, \oplus, \otimes)$ は $1$ を乗法単位元とする可換体になる.

計算

可換体 $(F_{2^n}, \oplus, \otimes)$ に対して, 以下が成り立つ. ただし, 非負整数 $k~(< n) $ に対して,

\[e_k := 2^{2^k}, \quad e'_k := 2^{2^k - 1} \left(= e_k / 2 \right)\]

とする.

これらの性質により, $x, y \in F_{2^n}$ に対して, $x \oplus y$ の計算を次のようにして, $F_{2^{n-1}}$ 上の計算に帰着させることができる.

まず, $x,y \in F_{2^n}$ より, $x, y$ はそれぞれ $x_0, x_1, y_0, y_1 \in F_{2^{n-1}}$ を用いて,

\[x = x_1 e_{k-1} + x_0, \quad y = y_1 e_{k-1} + y_0\]

と表せる.

すると,

\[\begin{align*} x \otimes y &= (x_1 e_{k-1} + x_0) \otimes (y_1 e_{k-1} + y_0) \\ &= (x_1 e_{k-1} \oplus x_0) \otimes (y_1 e_{k-1} \oplus y_0) \\ &= (x_1 \otimes e_{k-1} \oplus x_0) \otimes (y_1 \otimes e_{k-1} \oplus y_0) \\ &= \left((x_1 \otimes y_1) \otimes (e_{k-1} \otimes e_{k-1}) \right) \oplus \left((x_0 \otimes y_1 \oplus x_1 \otimes y_0) \otimes e_{k-1} \right) \oplus (x_0 \otimes y_0) \\ &= \left((x_1 \otimes y_1) \otimes (e_{k-1} \oplus e'_{k-1}) \right) \oplus \left((x_0 \otimes y_1 \oplus x_1 \otimes y_0) \otimes e_{k-1} \right) \oplus (x_0 \otimes y_0) \\ &= \left((x_1 \otimes y_1 \oplus x_0 \otimes y_1 \oplus x_1 \otimes y_0) \otimes e_{k-1} \right) \oplus (x_1 \otimes y_1 \otimes e'_{k-1}) \oplus (x_0 \otimes y_0) \\ &= \left(((x_1 \otimes y_1 \oplus x_0 \otimes y_1 \oplus x_1 \otimes y_0 \oplus x_0 \otimes y_0) \oplus x_0 \otimes y_0) \otimes e_{k-1} \right) \oplus (x_1 \otimes y_1 \otimes e'_{k-1}) \oplus (x_0 \otimes y_0) \\ &= \left(((x_1 \oplus x_0) \otimes (y_1 \oplus y_0) \oplus (x_0 \otimes y_0)) \otimes e_{k-1} \right) \oplus (x_1 \otimes y_1 \otimes e'_{k-1}) \oplus (x_0 \otimes y_0)\\ &= \left(((x_1 \oplus x_0) \otimes (y_1 \oplus y_0) \oplus (x_0 \otimes y_0)) \times e_{k-1} \right) \oplus (x_1 \otimes y_1 \otimes e'_{k-1}) \oplus (x_0 \otimes y_0) \\ \end{align*}\]

となり,

\[(x_1 \oplus x_0) \otimes (y_1 \oplus y_0), \quad x_0 \otimes y_0, \quad x_1 \otimes y_1 \otimes e'_{k-1}\]

の $4$ つの “1 レベル下” の積に帰着される.

逆元

$x \in F_{2^n}$ は $x \neq 0$ であるとする. Nimber 積の意味での $x$ の $m$ 乗を $\operatorname{power}(x, m)$ と書くことにする.

体における乗法群 $F_{2^n}^\times$ の位数は $(2^{2^n}-1)$ であるため, Lagrange の定理により, $\operatorname{power}(x, 2^{2^n}-1) = 1$ である.

よって, $x$ の Nimber 積の意味での逆元は $\operatorname{power}(x, 2^{2^n}-2)$ である.

平方根

まず, 平方根の定義ができることを証明する.

(定理 1) 任意の $b \in F_{2^n}$ に対して, $a \otimes a = b$ となる $a \in F_{2^n}$ がただ一つ存在する.

(証明)

$x, y \in F_{2^n}$ に対して, $x \otimes x = y \otimes y$ とする. すると, $F_{2^n}$ は位数 $2$ の体であるため, Freshman’s Dream により, $(x \oplus y) \otimes (x \oplus y) = 0$ が成り立つ.

$F_{2^n}$ は体であるため, $x \oplus y = 0$ である. つまり, $x = y$ である.

すると, $g: F_{2^n} \to F_{2^n}; x \mapsto x \otimes x$ は定義域と値域が同じ有限集合の $F_{2^n}$ である単射になるため, $g$ は全単射になる.

故に, 任意の $b \in F_{2^n}$ に対して, $g(a) = b$ となる $a \in F_{2^n}$ がただ一つ存在する.

$b \in F_{2^n}$ に対して, $a \otimes a = b$ となる $a \in F_{2^n}$ のことを, $b$ の平方根といい, $\sqrt{b}$ と書く.

計算

$x \in F_{2^n}$ として, $n$ に関して帰納的に求めていく.

$n = 1$ の場合. つまり, $x = 0, 1$ の場合はそれぞれ $\sqrt{0} = 0, \sqrt{1} = 1$ である.

つまり, $x \in F_{2^n}$ とすると, $n \geq 2$ である.

$x = x_1 e_{n-1} + x_0, x_1, x_0 \in F_{2^{n-1}}$ として $x$ を分割することができる.

ここで,

\[y_1 := \sqrt{x_1}, \quad y_0 := \sqrt{x_1 \otimes e'_{k-1} \oplus x_0}, \quad y := y_1 e_{k-1} + y_0\]

とする. このとき, $x_1, x_1 \otimes e’_{k-1} \oplus x_0 \in F_{2^{n-1}}$ になる.

すると,

\[\begin{align*} y \otimes y &= (y_1 e_{k-1} + y_0) \otimes (y_1 e_{k-1} + y_0) \\ &= (y_1 \otimes e_{k-1} \oplus y_0) \otimes (y_1 \otimes e_{k-1} \oplus y_0) \\ &= (y_1 \otimes y_1) \otimes (e_{k-1} \otimes e_{k-1}) \oplus (y_0 \oplus y_0) \\ &= x_1 \otimes (e_{k-1} \oplus e'_k) \oplus (x_1 \otimes e'_{k-1} \oplus x_0) \\ &= x_1 \otimes e_{k-1} \oplus x_0 \\ &= x \end{align*}\]

となる. よって, $y = \sqrt{x}$ である.

Reference

History

日付 内容
2026/02/21 sqrt の実装
2026/02/15 Nimber クラスの実装

Depends on

Verified with

Code

#pragma once

#include "../template/template.hpp"

class Nimber {
    public:
    Nimber(): x(0) {}
    Nimber(uint64_t x): x(x) {}

    Nimber operator-() const { return Nimber(x); }

    Nimber& operator+=(const Nimber &b) {
        x ^= b.x;
        return *this;
    }

    friend Nimber operator+(const Nimber &x, const Nimber &y) { return Nimber(x) += y; }

    Nimber& operator-=(const Nimber &b) {
        *this += b;
        return *this;
    }

    friend Nimber operator-(const Nimber &x, const Nimber &y) { return Nimber(x) -= y; }

    // 乗法
    Nimber& operator*=(const Nimber &b) {
        if ((x | b.x) < 256) {
            if (!table_initialized) init_table();
            x = small_table[x][b.x];
            return *this;
        }
        int level = max(calculate_level(x), calculate_level(b.x));
        x = calculate_mul(x, b.x, level);
        return *this;
    }

    friend Nimber operator*(const Nimber &x, const Nimber &y) { return Nimber(x) *= y; }

    friend bool operator==(const Nimber &a, const Nimber &b) { return a.x == b.x; }
    friend bool operator!=(const Nimber &a, const Nimber &b) { return a.x != b.x; }
    friend bool operator<(const Nimber &a, const Nimber &b) { return a.x < b.x; }

    Nimber square() const {
        if (x < 256) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_table[x][x];
        }
        int level = calculate_level(x);
        return Nimber(calculate_square(x, level));
    }

    // 入力
    friend istream &operator>>(istream &is, Nimber &a) {
        is >> a.x;
        return is;
    }

    // 出力
    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Nimber &a) { return os << a.x; }

    Nimber inverse() const;

    Nimber sqrt() {
        if (x < 256) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return Nimber(small_sqrt_table[x]);
        }

        int level = calculate_level(x);
        return Nimber(calculate_sqrt(x, level));
    }

    bool is_zero() const { return x == 0; }

    private:
    uint64_t x;

    inline static uint8_t small_table[256][256];
    inline static bool table_initialized = false;
    inline static uint8_t small_sqrt_table[256];

    static void init_table() {
        if (table_initialized) return;
        small_table[0][0] = 0; small_table[0][1] = 0;
        small_table[1][0] = 0; small_table[1][1] = 1;
        for (int level = 1; level <= 3; ++level) {
            int half = 1 << (1 << (level - 1));
            int full = 1 << (1 << level);
            for (int i = 0; i < full; ++i) {
                for (int j = 0; j < full; ++j) {
                    if (i < half && j < half) continue;
                    int x0 = i & (half - 1);
                    int x1 = i >> (1 << (level - 1));
                    int y0 = j & (half - 1);
                    int y1 = j >> (1 << (level - 1));
                    int p = small_table[x0][y0];
                    int m = small_table[x0 ^ x1][y0 ^ y1];
                    int b = small_table[small_table[x1][y1]][half >> 1];
                    small_table[i][j] = p ^ b ^ ((p ^ m) << (1 << (level - 1)));
                }
            }
        }

        for (int i = 0; i < 256; ++i) {
            small_sqrt_table[small_table[i][i]] = i;
        }

        table_initialized = true;
    }

    static uint64_t build_up(const uint64_t upper, const uint64_t lower, int level) {
        return upper << (1 << (level - 1)) ^ lower;
    }

    /// @brief x * y を求めるためのヘルパー関数
    /// @param x 
    /// @param y 
    /// @param level 
    /// @return 
    static uint64_t calculate_mul(const uint64_t x, const uint64_t y, int level) {
        if (level <= 3) { 
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_table[x][y];
        }

        const auto &[x1, x0] = separate(x, level);
        const auto &[y1, y0] = separate(y, level);

        uint64_t p = calculate_mul(x0, y0, level - 1);
        uint64_t e = 1ULL << (1 << (level - 1));

        uint64_t m = calculate_mul(x0 ^ x1, y0 ^ y1, level - 1);
        uint64_t a = p ^ m * e;
        uint64_t b = calculate_mul(calculate_mul(x1, y1, level - 1), e >> 1, level - 1);

        uint64_t res = (p * e) ^ a ^ b;

        return res;
    }

    /// @brief x の自乗を求めるヘルパー関数
    /// @param x 
    /// @param level 
    /// @return 
    static uint64_t calculate_square(const uint64_t x, int level) {
        if (level <= 3) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_table[x][x];
        }

        const auto &[x1, x0] = separate(x, level);

        uint64_t p = calculate_square(x0, level - 1);
        uint64_t b = calculate_square(x1, level - 1);
        
        uint64_t e = 1ULL << (1 << (level - 1));
        uint64_t mul_part = calculate_mul(b, e >> 1, level - 1);

        return p ^ (b << (1 << (level - 1))) ^ mul_part;
    }

    static uint64_t calculate_sqrt(const uint64_t x, int level) {
        if (level <= 3) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_sqrt_table[x];
        }

        const auto &[x1, x0] = separate(x, level);

        uint64_t y1 = calculate_sqrt(x1, level - 1);

        uint64_t e = 1ULL << (1 << (level - 1));
        uint64_t prod = calculate_mul(x1, e >> 1, level - 1);
        uint64_t y0 = calculate_sqrt(prod ^ x0, level - 1);

        return (y1 << (1 << (level - 1))) ^ y0;
    }

    /// @brief x < 2^(2^k) を満たす最小の非負整数 k を求める.
    /// @param x 
    /// @note x > 1 のときは, k = floor_log2(floor_log2(x)) + 1 が成り立つ.
    static int calculate_level(const uint64_t &x) {
        if (x == 0 || x == 1) { return 0; }

        return floor_log2(floor_log2(x)) + 1;
    }

    /// @brief 非負整数 x を x = x1 e_{level} + x0, 0 <= x_0 < e_{level}, 0 <= x_1 < e_{level} となるように分割する. ただし, e_k := 2^(2^k).
    /// @param x 非負整数
    /// @param level e_k における k の値
    /// @return {x1, x0} (順番注意)
    static pair<uint64_t, uint64_t> separate(const uint64_t &x, int level) {
        uint64_t upper = x >> (1 << (level - 1));
        uint64_t lower = x ^ (upper << (1 << level - 1));

        return { upper, lower };
    }
};

template<typename T>
Nimber pow(Nimber x, T n) {
    if constexpr (std::is_signed_v<T>) {
        if (n < 0) return pow(x.inverse(), -n);
    }

    Nimber res(1);
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res *= x;
        x = x.square();
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

inline Nimber Nimber::inverse() const {
    int l = calculate_level(x);
    return pow(*this, l >= 6 ? -2ULL : (1ULL << (1 << l)) - 2);
}
#line 2 "Algebra/Nimber.hpp"

#line 2 "template/template.hpp"

using namespace std;

// intrinstic
#include <immintrin.h>

#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <cfenv>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cinttypes>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <concepts>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iomanip>
#include <ios>
#include <iostream>
#include <istream>
#include <iterator>
#include <limits>
#include <list>
#include <map>
#include <memory>
#include <new>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <optional>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <streambuf>
#include <string>
#include <tuple>
#include <type_traits>
#include <typeinfo>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

// utility
#line 2 "template/utility.hpp"

using ll = long long;

// a ← max(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmax(T &a, const U b){
    return (a < b ? a = b, 1: 0);
}

// a ← min(a, b) を実行する. a が更新されたら, 返り値が true.
template<typename T, typename U>
inline bool chmin(T &a, const U b){
    return (a > b ? a = b, 1: 0);
}

// a の最大値を取得する.
template<typename T>
inline T max(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最小値を取得する.
template<typename T>
inline T min(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return *min_element(a.begin(), a.end());
}

// vector<T> a の最大値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmax(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw std::invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), max_element(a.begin(), a.end()));
}

// vector<T> a の最小値のインデックスを取得する.
template<typename T>
inline size_t argmin(const vector<T> &a){
    if (a.empty()) throw invalid_argument("vector is empty.");

    return distance(a.begin(), min_element(a.begin(), a.end()));
}
#line 61 "template/template.hpp"

// math
#line 2 "template/math.hpp"

// 演算子
template<typename T>
T add(const T &x, const T &y) { return x + y; }

template<typename T>
T sub(const T &x, const T &y) { return x - y; }

template<typename T>
T mul(const T &x, const T &y) { return x * y; }

template<typename T>
T neg(const T &x) { return -x; }

template<integral T>
T bitwise_and(const T &x, const T &y) { return x & y; }

template<integral T>
T bitwise_or(const T &x, const T &y) { return x | y; }

template<integral T>
T bitwise_xor(const T &x, const T &y) { return x ^ y; }

// 除算に関する関数

// floor(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_floor(T x, U y){
    return x / y - ((x % y != 0) && ((x < 0) != (y < 0)));
}

// ceil(x / y) を求める.
template<integral T, integral U>
auto div_ceil(T x, U y){
    return x / y + ((x % y != 0) && ((x < 0) == (y < 0)));
}

// x を y で割った余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto safe_mod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return x - q * y ;
}

// x を y で割った商と余りを求める.
template<integral T, integral U>
auto divmod(T x, U y){
    auto q = div_floor(x, y);
    return make_pair(q, x - q * y);
}

// 四捨五入を求める.
template<integral T, integral U>
auto round(T x, U y){
    auto [q, r] = divmod(x, y);
    if (y < 0) return (r <= div_floor(y, 2)) ? q + 1 : q;
    return (r >= div_ceil(y, 2)) ? q + 1 : q;
}

// 奇数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_odd(const T &x) { return x % 2 != 0; }

// 偶数かどうか判定する.
template<integral T>
bool is_even(const T &x) { return x % 2 == 0; }

// m の倍数かどうか判定する.
template<integral T, integral U>
bool is_multiple(const T &x, const U &m) { return x % m == 0; }

// 正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_positive(const T &x) { return x > 0; }

// 負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_negative(const T &x) { return x < 0; }

// ゼロかどうか判定する.
template<typename T>
bool is_zero(const T &x) { return x == 0; }

// 非負かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_negative(const T &x) { return x >= 0; }

// 非正かどうか判定する.
template<typename T>
bool is_non_positive(const T &x) { return x <= 0; }

// 指数に関する関数

// x の y 乗を求める.
ll intpow(ll x, ll y){
    ll a = 1;
    while (y){
        if (y & 1) { a *= x; }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return a;
}

// x の y 乗を z で割った余りを求める.
template<typename T, integral U>
T modpow(T x, U y, T z) {
    T a = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) { (a *= x) %= z; }

        (x *= x) %= z;
        y >>= 1;
    }

    return a;
}

template<typename T>
T sum(const vector<T> &X) {
    T y = T(0);
    for (auto &&x: X) { y += x; }
    return y;
}

template<typename T>
T gcd(const T x, const T y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

// a x + b y = gcd(a, b) を満たす整数の組 (a, b) に対して, (x, y, gcd(a, b)) を求める.
template<integral T>
tuple<T, T, T> Extended_Euclid(T a, T b) {
    T s = 1, t = 0, u = 0, v = 1;
    while (b) {
        auto [q, r] = divmod(a, b);
        a = b;
        b = r;
        tie(s, t) = make_pair(t, s - q * t);
        tie(u, v) = make_pair(v, u - q * v);
    }

    return make_tuple(s, u, a);
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll isqrt(const ll &N) { 
    if (N <= 0) { return 0; }

    ll x = sqrtl(N);
    while ((x + 1) * (x + 1) <= N) { x++; }
    while (x * x > N) { x--; }

    return x;
}

// floor(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll floor_sqrt(const ll &N) { return isqrt(N); }

// ceil(sqrt(N)) を求める (N < 0 のときは, 0 とする).
ll ceil_sqrt(const ll &N) {
    ll x = isqrt(N);
    return x * x == N ? x : x + 1;
}
#line 64 "template/template.hpp"

// inout
#line 1 "template/inout.hpp"
// 入出力
template<class... T>
void input(T&... a){ (cin >> ... >> a); }

void print(){ cout << "\n"; }

template<class T, class... Ts>
void print(const T& a, const Ts&... b){
    cout << a;
    (cout << ... << (cout << " ", b));
    cout << "\n";
}

template<typename T, typename U>
istream &operator>>(istream &is, pair<T, U> &P){
    is >> P.first >> P.second;
    return is;
}

template<typename T, typename U>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<T, U> &P){
    os << P.first << " " << P.second;
    return os;
}

template<typename T>
vector<T> vector_input(int N, int index){
    vector<T> X(N+index);
    for (int i=index; i<index+N; i++) cin >> X[i];
    return X;
}

template<typename T>
istream &operator>>(istream &is, vector<T> &X){
    for (auto &x: X) { is >> x; }
    return is;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const vector<T> &X){
    int s = (int)X.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) { os << (i ? " " : "") << X[i]; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) {os << (i ? " ": "") << a; i++;}
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const set<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const unordered_multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const multiset<T> &S){
    int i = 0;
    for (T a: S) { os << (i ? " ": "") << a; i++; }
    return os;
}

template<typename T>
std::vector<T> input_vector(size_t n, size_t offset = 0) {
    std::vector<T> res;
    // 最初に必要な全容量を確保（再確保を防ぐ）
    res.reserve(n + offset);
    // offset 分をデフォルト値で埋める（特別 indexed 用）
    res.assign(offset, T());
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        T el;
        if (!(std::cin >> el)) break;
        res.push_back(std::move(el));
    }
    return res;
}
#line 67 "template/template.hpp"

// macro
#line 2 "template/macro.hpp"

// マクロの定義
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define len(x) ll(x.size())
#define elif else if
#define unless(cond) if (!(cond))
#define until(cond) while (!(cond))
#define loop while (true)

// オーバーロードマクロ
#define overload2(_1, _2, name, ...) name
#define overload3(_1, _2, _3, name, ...) name
#define overload4(_1, _2, _3, _4, name, ...) name
#define overload5(_1, _2, _3, _4, _5, name, ...) name

// 繰り返し系
#define rep1(n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep2(i, n) for (ll i = 0; i < n; i++)
#define rep3(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define rep4(i, a, b, c) for (ll i = a; i < b; i += c)
#define rep(...) overload4(__VA_ARGS__, rep4, rep3, rep2, rep1)(__VA_ARGS__)

#define foreach1(x, a) for (auto &&x: a)
#define foreach2(x, y, a) for (auto &&[x, y]: a)
#define foreach3(x, y, z, a) for (auto &&[x, y, z]: a)
#define foreach4(x, y, z, w, a) for (auto &&[x, y, z, w]: a)
#define foreach(...) overload5(__VA_ARGS__, foreach4, foreach3, foreach2, foreach1)(__VA_ARGS__)
#line 70 "template/template.hpp"

// bitop
#line 2 "template/bitop.hpp"

// 非負整数 x の bit legnth を求める.
ll bit_length(ll x) {
    if (x == 0) { return 0; }
    return (sizeof(long) * CHAR_BIT) - __builtin_clzll(x);
}

// 非負整数 x の popcount を求める.
ll popcount(ll x) { return __builtin_popcountll(x); }

// 正の整数 x に対して, floor(log2(x)) を求める.
ll floor_log2(ll x) { return bit_length(x) - 1; }

// 正の整数 x に対して, ceil(log2(x)) を求める.
ll ceil_log2(ll x) { return bit_length(x - 1); }

// x の第 k ビットを取得する
int get_bit(ll x, int k) { return (x >> k) & 1; }

// x のビット列を取得する.
// k はビット列の長さとする.
vector<int> get_bits(ll x, int k) {
    vector<int> bits(k);
    rep(i, k) {
        bits[i] = x & 1;
        x >>= 1;
    }

    return bits;
}

// x のビット列を取得する.
vector<int> get_bits(ll x) { return get_bits(x, bit_length(x)); }
#line 73 "template/template.hpp"

// exception
#line 2 "template/exception.hpp"

class NotExist: public exception {
    private:
    string message;

    public:
    NotExist() : message("求めようとしていたものは存在しません.") {}

    const char* what() const noexcept override {
        return message.c_str();
    }
};
#line 4 "Algebra/Nimber.hpp"

class Nimber {
    public:
    Nimber(): x(0) {}
    Nimber(uint64_t x): x(x) {}

    Nimber operator-() const { return Nimber(x); }

    Nimber& operator+=(const Nimber &b) {
        x ^= b.x;
        return *this;
    }

    friend Nimber operator+(const Nimber &x, const Nimber &y) { return Nimber(x) += y; }

    Nimber& operator-=(const Nimber &b) {
        *this += b;
        return *this;
    }

    friend Nimber operator-(const Nimber &x, const Nimber &y) { return Nimber(x) -= y; }

    // 乗法
    Nimber& operator*=(const Nimber &b) {
        if ((x | b.x) < 256) {
            if (!table_initialized) init_table();
            x = small_table[x][b.x];
            return *this;
        }
        int level = max(calculate_level(x), calculate_level(b.x));
        x = calculate_mul(x, b.x, level);
        return *this;
    }

    friend Nimber operator*(const Nimber &x, const Nimber &y) { return Nimber(x) *= y; }

    friend bool operator==(const Nimber &a, const Nimber &b) { return a.x == b.x; }
    friend bool operator!=(const Nimber &a, const Nimber &b) { return a.x != b.x; }
    friend bool operator<(const Nimber &a, const Nimber &b) { return a.x < b.x; }

    Nimber square() const {
        if (x < 256) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_table[x][x];
        }
        int level = calculate_level(x);
        return Nimber(calculate_square(x, level));
    }

    // 入力
    friend istream &operator>>(istream &is, Nimber &a) {
        is >> a.x;
        return is;
    }

    // 出力
    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Nimber &a) { return os << a.x; }

    Nimber inverse() const;

    Nimber sqrt() {
        if (x < 256) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return Nimber(small_sqrt_table[x]);
        }

        int level = calculate_level(x);
        return Nimber(calculate_sqrt(x, level));
    }

    bool is_zero() const { return x == 0; }

    private:
    uint64_t x;

    inline static uint8_t small_table[256][256];
    inline static bool table_initialized = false;
    inline static uint8_t small_sqrt_table[256];

    static void init_table() {
        if (table_initialized) return;
        small_table[0][0] = 0; small_table[0][1] = 0;
        small_table[1][0] = 0; small_table[1][1] = 1;
        for (int level = 1; level <= 3; ++level) {
            int half = 1 << (1 << (level - 1));
            int full = 1 << (1 << level);
            for (int i = 0; i < full; ++i) {
                for (int j = 0; j < full; ++j) {
                    if (i < half && j < half) continue;
                    int x0 = i & (half - 1);
                    int x1 = i >> (1 << (level - 1));
                    int y0 = j & (half - 1);
                    int y1 = j >> (1 << (level - 1));
                    int p = small_table[x0][y0];
                    int m = small_table[x0 ^ x1][y0 ^ y1];
                    int b = small_table[small_table[x1][y1]][half >> 1];
                    small_table[i][j] = p ^ b ^ ((p ^ m) << (1 << (level - 1)));
                }
            }
        }

        for (int i = 0; i < 256; ++i) {
            small_sqrt_table[small_table[i][i]] = i;
        }

        table_initialized = true;
    }

    static uint64_t build_up(const uint64_t upper, const uint64_t lower, int level) {
        return upper << (1 << (level - 1)) ^ lower;
    }

    /// @brief x * y を求めるためのヘルパー関数
    /// @param x 
    /// @param y 
    /// @param level 
    /// @return 
    static uint64_t calculate_mul(const uint64_t x, const uint64_t y, int level) {
        if (level <= 3) { 
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_table[x][y];
        }

        const auto &[x1, x0] = separate(x, level);
        const auto &[y1, y0] = separate(y, level);

        uint64_t p = calculate_mul(x0, y0, level - 1);
        uint64_t e = 1ULL << (1 << (level - 1));

        uint64_t m = calculate_mul(x0 ^ x1, y0 ^ y1, level - 1);
        uint64_t a = p ^ m * e;
        uint64_t b = calculate_mul(calculate_mul(x1, y1, level - 1), e >> 1, level - 1);

        uint64_t res = (p * e) ^ a ^ b;

        return res;
    }

    /// @brief x の自乗を求めるヘルパー関数
    /// @param x 
    /// @param level 
    /// @return 
    static uint64_t calculate_square(const uint64_t x, int level) {
        if (level <= 3) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_table[x][x];
        }

        const auto &[x1, x0] = separate(x, level);

        uint64_t p = calculate_square(x0, level - 1);
        uint64_t b = calculate_square(x1, level - 1);
        
        uint64_t e = 1ULL << (1 << (level - 1));
        uint64_t mul_part = calculate_mul(b, e >> 1, level - 1);

        return p ^ (b << (1 << (level - 1))) ^ mul_part;
    }

    static uint64_t calculate_sqrt(const uint64_t x, int level) {
        if (level <= 3) {
            if (!table_initialized) init_table();
            return small_sqrt_table[x];
        }

        const auto &[x1, x0] = separate(x, level);

        uint64_t y1 = calculate_sqrt(x1, level - 1);

        uint64_t e = 1ULL << (1 << (level - 1));
        uint64_t prod = calculate_mul(x1, e >> 1, level - 1);
        uint64_t y0 = calculate_sqrt(prod ^ x0, level - 1);

        return (y1 << (1 << (level - 1))) ^ y0;
    }

    /// @brief x < 2^(2^k) を満たす最小の非負整数 k を求める.
    /// @param x 
    /// @note x > 1 のときは, k = floor_log2(floor_log2(x)) + 1 が成り立つ.
    static int calculate_level(const uint64_t &x) {
        if (x == 0 || x == 1) { return 0; }

        return floor_log2(floor_log2(x)) + 1;
    }

    /// @brief 非負整数 x を x = x1 e_{level} + x0, 0 <= x_0 < e_{level}, 0 <= x_1 < e_{level} となるように分割する. ただし, e_k := 2^(2^k).
    /// @param x 非負整数
    /// @param level e_k における k の値
    /// @return {x1, x0} (順番注意)
    static pair<uint64_t, uint64_t> separate(const uint64_t &x, int level) {
        uint64_t upper = x >> (1 << (level - 1));
        uint64_t lower = x ^ (upper << (1 << level - 1));

        return { upper, lower };
    }
};

template<typename T>
Nimber pow(Nimber x, T n) {
    if constexpr (std::is_signed_v<T>) {
        if (n < 0) return pow(x.inverse(), -n);
    }

    Nimber res(1);
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res *= x;
        x = x.square();
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

inline Nimber Nimber::inverse() const {
    int l = calculate_level(x);
    return pow(*this, l >= 6 ? -2ULL : (1ULL << (1 << l)) - 2);
}
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